Ты просишь доказать, что четырехугольник APCQ — параллелограмм, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD.

Чтобы доказать, что четырехугольник $APCQ$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. 1. $ABCD$ — параллелограмм, значит, $BC \parallel AD$ и $BC = AD$. 2. Так как $PB = QD$, то $BP = DQ$. 3. Рассмотрим треугольники $BCP$ и $ADQ$: * $BC = AD$ (из пункта 1), * $\angle CBP = \angle ADQ$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$), * $BP = DQ$ (по условию). 4. Следовательно, $\triangle BCP = \triangle ADQ$ (по первому признаку равенства треугольников). 5. Из равенства треугольников следует, что $CP = AQ$ и $\angle BCP = \angle DAQ$. 6. Так как $\angle BCP = \angle DAQ$, то $CP \parallel AQ$. 7. Аналогично можно доказать, что $AP = CQ$ и $AP \parallel CQ$. Таким образом, в четырехугольнике $APCQ$ противоположные стороны попарно равны и параллельны, что и требовалось доказать.