Можешь помочь мне найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x + 5/x?

Давай разберём задачи из твоего учебника. **Самостоятельная работа № 42** 1) Найдём промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x + \frac{5}{x}$. Чтобы найти, где функция возрастает или убывает, нужно найти её производную и посмотреть, где она больше или меньше нуля. Производная функции: $f'(x) = 1 - \frac{5}{x^2}$. Теперь посмотрим, где $f'(x) > 0$ (функция возрастает) и где $f'(x) < 0$ (функция убывает). * $f'(x) > 0$ при $x < -\sqrt{5}$ и $x > \sqrt{5}$ (функция возрастает). * $f'(x) < 0$ при $-\sqrt{5} < x < 0$ и $0 < x < \sqrt{5}$ (функция убывает). 2) Найдём промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$. * Область определения: $x^2 - 4x \geq 0$, то есть $x \leq 0$ или $x \geq 4$. * Производная: $f'(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$. * $f'(x) > 0$ при $x > 4$ (функция возрастает). * $f'(x) < 0$ при $x < 0$ (функция убывает). 3) Найдём промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x$. * Производная: $f'(x) = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$. * $f'(x) > 0$ при $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ (функция возрастает). * $f'(x) < 0$ при $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$ (функция убывает). Здесь $k$ — любое целое число. 2. По графику: * Функция возрастает на промежутках, где производная выше нуля: $(-\infty; x_1)$ и $(x_2; +\infty)$. * Функция убывает на промежутке, где производная ниже нуля: $(x_1; x_2)$. **Самостоятельная работа № 43** 1) Найдём промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$. * Производная: $f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}$. * $f'(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = -3$. * Функция возрастает на $(-\infty; -3)$ и $(-1; +\infty)$. * Функция убывает на $(-3; -2)$ и $(-2; -1)$. * Точка $x = -3$ — точка максимума. * Точка $x = -1$ — точка минимума. 2) Найдём промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции $f(x) = x^2\sqrt{4 - x}$. * Область определения: $x \leq 4$. * Производная: $f'(x) = \frac{8x - 5x^2}{\sqrt{4 - x}}$. * $f'(x) = 0$ при $x = 0$ и $x = \frac{8}{5}$. * Функция возрастает на $(0; \frac{8}{5})$. * Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и $(\frac{8}{5}; 4)$. * Точка $x = 0$ — точка минимума. * Точка $x = \frac{8}{5}$ — точка максимума. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие задачи!