Найди sin α, если cos α = 1/2

1013. Давай вспомним основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла. a) Если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. б) Если $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$, то $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$ $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. в) Если $\cos \alpha = -1$, то $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$$ $\sin \alpha = 0$. 1014. Здесь используем то же самое основное тригонометрическое тождество, но выражаем $\cos \alpha$ через $\sin \alpha$. a) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$. б) Если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$, то $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$ $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$. в) Если $\sin \alpha = 0$, то $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 0^2 = 1$$ $\cos \alpha = \pm \sqrt{1} = \pm 1$. 1015. Тангенс - это отношение синуса к косинусу: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. a) Если $\cos \alpha = 1$, то, чтобы найти тангенс, сначала найдем синус: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 1^2 = 0$$ $\sin \alpha = 0$. Тогда $tg \alpha = \frac{0}{1} = 0$. б) Если $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то найдем синус: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$. Тогда $tg \alpha = \frac{\pm \frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pm 1}{-\sqrt{3}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}} = \mp \frac{\sqrt{3}}{3}$. в) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0° < \alpha < 90°$, то найдем косинус: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (т.к. угол в первой четверти, косинус положительный). Тогда $tg \alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. г) Если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90° < \alpha < 180°$, то найдем косинус: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$ (т.к. угол во второй четверти, косинус отрицательный). Тогда $tg \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$.