Реши задачу 6: даны три первых члена числовых последовательностей, известно, что одна из этих последовательностей геометрическая прогрессия, укажи ее.

6. Геометрическая прогрессия — это когда каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число. * В первом варианте: $5; \sqrt{5}; 1; ...$ Здесь умножают на $\frac{\sqrt{5}}{5}$, потому что $\sqrt{5} = 5 * \frac{\sqrt{5}}{5}$, и $1 = \sqrt{5} * \frac{\sqrt{5}}{5}$. * В остальных вариантах такой закономерности нет. **Правильный ответ: 1** 7. Упростим выражение $(a - \frac{1}{a}) \cdot \frac{1}{a-1}$: 1. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: $$a - \frac{1}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a}$$ 2. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$ 3. Подставим это в исходное выражение:$$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a} \cdot \frac{1}{a - 1}$$ 4. Сократим $(a - 1)$ в числителе и знаменателе:$$\frac{(a + 1)}{a} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a + 1}{a}$$ **Ответ: $\frac{a+1}{a}$** 8. Чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант находится по формуле $D = b^2 - 4ac$. 1. $3x^2 + 5x + 2 = 0$: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 > 0$ 2. $4x^2 - 4x + 1 = 0$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$ 3. $5x^2 - 6x + 4 = 0$: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 36 - 80 = -44 < 0$ 4. $4x^2 - 4x + 5 = 0$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64 < 0$ Только в первом уравнении дискриминант больше нуля. **Правильный ответ: 1** 9. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, угол $D$ равен углу $C$, а угол $B$ равен углу $A$. Сумма всех углов в четырёхугольнике равна $360^\circ$. Пусть угол $A = x$, тогда угол $C = 4x$. 1. Составим уравнение: $x + x + 4x + 4x = 360^\circ$ 2. $10x = 360^\circ$ 3. $x = 36^\circ$ (это угол $A$) 4. Угол $B$ равен углу $A$, значит, угол $B = 36^\circ$. **Ответ: 36** 10. $AB$ — диаметр, значит, $O$ — середина $AB$. Тогда $AO = OB$. $AM = 5$ и $BM = 12$, тогда $AB = AM + MB = 5 + 12 = 17$. Значит, $AO = OB = \frac{17}{2} = 8,5$. $OM = AO - AM = 8,5 - 5 = 3,5$. Периметр треугольника $BOM$ это $BO + OM + MB = 8,5 + 3,5 + 12 = 24$. **Ответ: 24** 11. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Один катет равен $2\sqrt{2}$. **Допущение:** на рисунке треугольник $ABC$ равнобедренный. Тогда $BC=CA=2\sqrt{2}$. $S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$. **Ответ: 4**