Объясни, как найти допустимые значения переменной в выражении x² - 8x + 9.

11. Чтобы найти допустимые значения переменной в выражении, нужно исключить те значения, при которых знаменатель дроби равен нулю, так как на ноль делить нельзя. а) $x^2 - 8x + 9$ - здесь нет дроби, поэтому допустимы любые значения переменной $x$. б) $\frac{1}{6x - 3}$ - знаменатель не должен быть равен нулю: $6x - 3 \neq 0$. Решаем уравнение: $6x \neq 3$, значит, $x \neq \frac{3}{6}$ или $x \neq \frac{1}{2}$. в) $\frac{3x-6}{7}$ - здесь знаменатель равен 7, что не может быть нулём. Значит, допустимы любые значения переменной $x$. г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$ - знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. д) $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$ - знаменатель $x^2 + 25$ никогда не равен нулю, так как $x^2$ всегда больше или равен нулю, и прибавив 25, мы всегда получим число больше нуля. Значит, допустимы любые значения переменной $x$. е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$ - здесь нужно исключить значения, при которых знаменатели $x+8$ и $x$ равны нулю. Значит, $x \neq -8$ и $x \neq 0$. 12. Аналогично предыдущему заданию, ищем значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$ - знаменатель 11, значит, допустимы любые значения $y$. б) $\frac{25}{y-9}$ - знаменатель $y-9$ не должен быть равен нулю. Значит, $y \neq 9$. в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ - знаменатель $y^2-2y = y(y-2)$ не должен быть равен нулю. Значит, $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$. г) $\frac{y-10}{y^2+3}$ - знаменатель $y^2+3$ никогда не равен нулю, так как $y^2$ всегда больше или равен нулю, и прибавив 3, мы всегда получим число больше нуля. Значит, допустимы любые значения переменной $y$. д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ - здесь нужно исключить значения, при которых знаменатели $y-6$ и $y+6$ равны нулю. Значит, $y \neq 6$ и $y \neq -6$. е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ - здесь нужно исключить значения, при которых знаменатели $y$ и $y+7$ равны нулю. Значит, $y \neq 0$ и $y \neq -7$. 13. Чтобы найти область определения функции, нужно найти все допустимые значения $x$, при которых функция имеет смысл. а) $y = \frac{1}{x-2}$ - знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq 2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ - знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$ - знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq -5$. 14. Чтобы найти, при каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно нулю, нужно приравнять числитель к нулю: $x-3 = 0$. Решаем уравнение: $x = 3$. **Ответ: Г** 15. Чтобы значение дроби было равно нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$ - числитель $y-5$ должен быть равен нулю. Значит, $y-5 = 0$, то есть $y = 5$. б) $\frac{2y+3}{10}$ - числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. Значит, $2y+3 = 0$, то есть $2y = -3$, и $y = -\frac{3}{2} = -1,5$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$ - числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Значит, $x = 0$ или $x-1 = 0$, то есть $x = 1$. Но нужно проверить, чтобы знаменатель не был равен нулю. Если $x = 0$, то знаменатель $0+4 = 4 \neq 0$. Если $x = 1$, то знаменатель $1+4 = 5 \neq 0$. Значит, $x = 0$ и $x = 1$. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$ - числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Значит, $x = 0$ или $x+3 = 0$, то есть $x = -3$. Но нужно проверить, чтобы знаменатель не был равен нулю. Знаменатель $2x+6 = 2(x+3)$. Если $x = -3$, то знаменатель $2(-3+3) = 0$, что недопустимо. Значит, остается только $x = 0$. 16. Чтобы найти значения переменной, при которых дробь равна нулю, нужно приравнять числитель к нулю. а) $\frac{m+4}{6}$ - числитель $m+4$ должен быть равен нулю. Значит, $m+4 = 0$, то есть $m = -4$. б) $\frac{7-5n}{11}$ - числитель $7-5n$ должен быть равен нулю. Значит, $7-5n = 0$, то есть $5n = 7$, и $n = \frac{7}{5} = 1,4$. в) $\frac{b^2-b}{b+2}$ - числитель $b^2-b = b(b-1)$ должен быть равен нулю. Значит, $b = 0$ или $b-1 = 0$, то есть $b = 1$. Нужно проверить, чтобы знаменатель не был равен нулю. Если $b = 0$, то знаменатель $0+2 = 2 \neq 0$. Если $b = 1$, то знаменатель $1+2 = 3 \neq 0$. Значит, $b = 0$ и $b = 1$. г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$ - числитель $y^2-25 = (y-5)(y+5)$ должен быть равен нулю. Значит, $y = 5$ или $y = -5$. Нужно проверить, чтобы знаменатель не был равен нулю. Знаменатель $3y-15 = 3(y-5)$. Если $y = 5$, то знаменатель $3(5-5) = 0$, что недопустимо. Значит, остается только $y = -5$. 17. Чтобы определить знак дроби $\frac{a}{b}$, нужно знать знаки $a$ и $b$. а) Если $a > 0$ и $b > 0$, то $\frac{a}{b} > 0$. б) Если $a > 0$ и $b < 0$, то $\frac{a}{b} < 0$. в) Если $a < 0$ и $b > 0$, то $\frac{a}{b} < 0$. г) Если $a < 0$ и $b < 0$, то $\frac{a}{b} > 0$. 18. Нужно доказать, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2+1}$ - всегда положительно, так как числитель 3 положителен, а знаменатель $x^2+1$ всегда больше нуля (потому что $x^2$ всегда больше или равен нулю, и прибавив 1, мы всегда получим положительное число). б) $\frac{-5}{y^2+4}$ - всегда отрицательно, так как числитель -5 отрицателен, а знаменатель $y^2+4$ всегда больше нуля (потому что $y^2$ всегда больше или равен нулю, и прибавив 4, мы всегда получим положительное число). в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ - всегда неотрицательно, так как числитель $(a-1)^2$ всегда больше или равен нулю (потому что квадрат любого числа неотрицателен), а знаменатель $a^2+10$ всегда больше нуля (потому что $a^2$ всегда больше или равен нулю, и прибавив 10, мы всегда получим положительное число). г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ - всегда неположительно, так как числитель $(b-3)^2$ всегда больше или равен нулю (потому что квадрат любого числа неотрицателен), а знаменатель $-b^2-1$ всегда отрицателен (потому что $-b^2$ всегда меньше или равен нулю, и отняв 1, мы всегда получим отрицательное число). 19. Чтобы найти, при каком значении $a$ дробь принимает наибольшее значение, нужно проанализировать дроби. а) $\frac{4}{a^2+5}$ - эта дробь будет наибольшей, когда знаменатель $a^2+5$ будет наименьшим. Знаменатель будет наименьшим, когда $a^2$ будет наименьшим, то есть когда $a = 0$. В этом случае дробь равна $\frac{4}{0+5} = \frac{4}{5}$. б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$ - эта дробь будет наибольшей, когда знаменатель $(a-3)^2+1$ будет наименьшим. Знаменатель будет наименьшим, когда $(a-3)^2$ будет наименьшим, то есть когда $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. В этом случае дробь равна $\frac{10}{(3-3)^2+1} = \frac{10}{0+1} = 10$. Сравниваем значения дробей: $\frac{4}{5} < 10$. Значит, наибольшее значение принимает вторая дробь при $a = 3$. **Ответ: Б**