Определи, рациональным или иррациональным числом является значение выражения $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

- a) Выражение $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ после упрощения будет иррациональным. Для начала упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю: $$\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{5}) - \sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{7 - \sqrt{35} - 7 - \sqrt{35}}{7 - 5}$$ Упростим числитель и знаменатель: $$\frac{-2\sqrt{35}}{2} = -\sqrt{35}$$ Так как $\sqrt{35}$ является иррациональным числом, то и результат будет иррациональным. - б) Выражение $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ после упрощения будет иррациональным. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}$$ Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и разности: $$\frac{(7 - 2\sqrt{35} + 5) - (7 + 2\sqrt{35} + 5)}{7 - 5}$$ Упростим числитель и знаменатель: $$\frac{12 - 2\sqrt{35} - 12 - 2\sqrt{35}}{2} = \frac{-4\sqrt{35}}{2} = -2\sqrt{35}$$ Так как $\sqrt{35}$ является иррациональным числом, то и результат будет иррациональным. - в) Выражение $3 - \sqrt{2} + \frac{5}{3 - \sqrt{2}}$ после упрощения будет рациональным. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 + \sqrt{2}$: $$3 - \sqrt{2} + \frac{5(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}$$ Раскроем скобки в числителе и знаменателе: $$3 - \sqrt{2} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{9 - 2}$$ Упростим выражение: $$3 - \sqrt{2} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{21 - 7\sqrt{2} + 15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{36 - 2\sqrt{2}}{7}$$ Полученное число является иррациональным, так как содержит член с $\sqrt{2}$. - г) Выражение $\sqrt{(3 - 4\sqrt{3})^2} - 2\sqrt{3}$ после упрощения будет рациональным. Упростим выражение, извлекая квадратный корень: $$|3 - 4\sqrt{3}| - 2\sqrt{3}$$ Так как $4\sqrt{3} > 3$, то $|3 - 4\sqrt{3}| = 4\sqrt{3} - 3$: $$4\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 3$$ Полученное число является иррациональным, так как содержит член с $\sqrt{3}$.