Помоги мне решить задачи из варианта IV: 1) Найти производную функции f(x)=x²-6x+4, пользуясь определением.

Привет! Конечно, я помогу тебе разобраться с этими заданиями. Вот решения: 1. Чтобы найти производную функции $f(x) = x^2 - 6x + 4$ по определению, нужно вспомнить, что производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. То есть, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Сначала найдем $f(x+h)$: $$f(x+h) = (x+h)^2 - 6(x+h) + 4 = x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4$$ Теперь найдем разность $f(x+h) - f(x)$: $$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4) - (x^2 - 6x + 4) = 2xh + h^2 - 6h$$ Разделим на $h$: $$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2 - 6h}{h} = 2x + h - 6$$ Теперь найдем предел при $h \to 0$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 6) = 2x - 6$$ **Ответ: $f'(x) = 2x - 6$** 2. а) Найдём производную функции $f(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 3$: $$f'(x) = 6x^2 + 2x - 3$$ б) Теперь найдем значение производной в точке $x = -2$: $$f'(-2) = 6(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 6 \cdot 4 - 4 - 3 = 24 - 4 - 3 = 17$$ **Ответ: $f'(x) = 6x^2 + 2x - 3$, $f'(-2) = 17$** 3. Допущение: в задании опечатка и функция имеет вид $f(x) = 3^x \cdot \log_3 x$. a) Найдём производную функции $f(x) = 3^x \cdot \log_3 x$, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (3^x)' \cdot \log_3 x + 3^x \cdot (\log_3 x)' = 3^x \ln 3 \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$$ б) Теперь найдем значение производной в точке $x = 1$: $$f'(1) = 3^1 \ln 3 \cdot \log_3 1 + 3^1 \cdot \frac{1}{1 \ln 3} = 3 \ln 3 \cdot 0 + \frac{3}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3}$$ **Ответ: $f'(x) = 3^x \ln 3 \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$, $f'(1) = \frac{3}{\ln 3}$** 4. a) Найдём производную функции $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 - 4}$, используя правило частного $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{(x^2 - 2)'(x^2 - 4) - (x^2 - 2)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 - 2)2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 4x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 4)^2}$$ б) Теперь найдем значение производной в точке $x = 3$: $$f'(3) = \frac{-4 \cdot 3}{(3^2 - 4)^2} = \frac{-12}{(9 - 4)^2} = \frac{-12}{5^2} = -\frac{12}{25}$$ **Ответ: $f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 - 4)^2}$, $f'(3) = -\frac{12}{25}$** 5. Допущение: в задании опечатка и функция имеет вид $f(x) = \sqrt[10]{x}$. a) Найдём производную функции $f(x) = \sqrt[10]{x} = x^{1/10}$: $$f'(x) = \frac{1}{10}x^{\frac{1}{10} - 1} = \frac{1}{10}x^{-\frac{9}{10}} = \frac{1}{10 \sqrt[10]{x^9}}$$ б) Теперь найдем значение производной в точке $x = 5$: $$f'(5) = \frac{1}{10 \sqrt[10]{5^9}}$$ **Ответ: $f'(x) = \frac{1}{10 \sqrt[10]{x^9}}$, $f'(5) = \frac{1}{10 \sqrt[10]{5^9}}$**