Помоги решить задачи из варианта 1: найти допустимые значения, сократить дробь, упростить выражение, решить уравнение и доказать тождество.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. 1. Чтобы найти допустимые значения, нужно посмотреть на знаменатель дроби. Он не должен быть равен нулю. В твоём примере, $a + 14$ не должно равняться нулю. То есть, $a$ не должно быть равно $-14$. Вот и всё! 2. Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом посмотреть, что можно сократить. В числителе у тебя $ac^2 - 2abc + ab^2$. Тут можно вынести $a$ за скобки: $a(c^2 - 2bc + b^2)$. А в скобках - это $(c-b)^2$. Получается, $a(c-b)^2$. В знаменателе $5c^2 - 5b^2$. Тут можно вынести $5$ за скобки: $5(c^2 - b^2)$. А это разность квадратов, то есть $5(c-b)(c+b)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{a(c-b)^2}{5(c-b)(c+b)}$. Можно сократить $(c-b)$ и получится $\frac{a(c-b)}{5(c+b)}$. 3. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю: $$\frac{a-b}{a^2b+ab^2} + \frac{a+b}{a^2b-ab^2} = \frac{a-b}{ab(a+b)} + \frac{a+b}{ab(a-b)}$$ Общий знаменатель тут $ab(a+b)(a-b)$. Приводим к нему: $$\frac{(a-b)(a-b)}{ab(a+b)(a-b)} + \frac{(a+b)(a+b)}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2 + (a+b)^2}{ab(a+b)(a-b)}$$ Раскрываем скобки в числителе: $$\frac{a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2}{ab(a+b)(a-b)} = \frac{2a^2 + 2b^2}{ab(a+b)(a-b)} = \frac{2(a^2 + b^2)}{ab(a^2 - b^2)}$$ Теперь умножаем на $\frac{a^3b}{a^2+b^2}$: $$\frac{2(a^2 + b^2)}{ab(a^2 - b^2)} \cdot \frac{a^3b}{a^2+b^2} = \frac{2a^2}{a^2 - b^2}$$ Теперь подставим $a=2$ и $b=1$: $$\frac{2 \cdot 2^2}{2^2 - 1^2} = \frac{2 \cdot 4}{4 - 1} = \frac{8}{3}$$ 4. Давай решим уравнение: $$2x + \frac{6x+1}{7} - \frac{8x+15}{3} + 2 = 0$$ Чтобы было проще, умножим всё уравнение на $21$ (это общий знаменатель $7$ и $3$): $$2x \cdot 21 + \frac{6x+1}{7} \cdot 21 - \frac{8x+15}{3} \cdot 21 + 2 \cdot 21 = 0$$ $$42x + 3(6x+1) - 7(8x+15) + 42 = 0$$ Раскрываем скобки: $$42x + 18x + 3 - 56x - 105 + 42 = 0$$ Приводим подобные члены: $$42x + 18x - 56x = -3 + 105 - 42$$ $$4x = 60$$ $$x = 15$$ 5. Тут нужно доказать тождество, то есть показать, что левая часть равна правой. Начнём с левой части: $$\frac{a}{a+3b} + \frac{a+3b}{a-3b} - \frac{a^2}{a^2-9b^2}$$ Заметим, что $a^2 - 9b^2 = (a+3b)(a-3b)$. Приведём всё к общему знаменателю $(a+3b)(a-3b)$: $$\frac{a(a-3b)}{(a+3b)(a-3b)} + \frac{(a+3b)(a+3b)}{(a-3b)(a+3b)} - \frac{a^2}{(a+3b)(a-3b)}$$ $$\frac{a^2 - 3ab + (a^2 + 6ab + 9b^2) - a^2}{(a+3b)(a-3b)} = \frac{a^2 - 3ab + a^2 + 6ab + 9b^2 - a^2}{(a+3b)(a-3b)}$$ $$\frac{a^2 + 3ab + 9b^2}{(a+3b)(a-3b)}$$ Теперь умножим это на $\frac{a-3b}{2a+3b}$: $$\frac{a^2 + 3ab + 9b^2}{(a+3b)(a-3b)} \cdot \frac{a-3b}{2a+3b} = \frac{a^2 + 3ab + 9b^2}{(a+3b)(2a+3b)}$$ Тут что-то не сходится. В условии ошибка? Должно получиться $1$, но тут что-то другое выходит. Надеюсь, это поможет!