Можешь помочь решить уравнение (1/(x+2)) + (1/(x²-2x)) = 8/(x³-4x²)?

Question

Вопрос:

Можешь помочь решить уравнение (1/(x+2)) + (1/(x²-2x)) = 8/(x³-4x²)?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

a) Давай решим уравнение $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x^2}$. Чтобы решить это уравнение, сначала нужно упростить его и найти общий знаменатель. Общий знаменатель здесь $x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4)$. Тогда уравнение можно переписать так: $$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x^2(x-4)}$$ Теперь приведем все к общему знаменателю: $$\frac{x(x-2)(x-4) + (x+2)(x-4)}{x^2(x-4)(x+2)} = \frac{8(x+2)}{x^2(x-4)(x+2)}$$ Теперь мы можем убрать знаменатель, так как он одинаковый с обеих сторон: $$x(x-2)(x-4) + (x+2)(x-4) = 8(x+2)$$ Раскроем скобки и упростим: $$x(x^2 - 6x + 8) + (x^2 - 2x - 8) = 8x + 16$$ $$x^3 - 6x^2 + 8x + x^2 - 2x - 8 = 8x + 16$$ $$x^3 - 5x^2 + 6x - 8 = 8x + 16$$ Перенесем все в одну сторону: $$x^3 - 5x^2 - 2x - 24 = 0$$ Теперь нужно найти корни этого кубического уравнения. Подбором можно найти, что $x = 6$ является корнем, так как: $$6^3 - 5 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6 - 24 = 216 - 180 - 12 - 24 = 0$$ Теперь мы можем разделить кубическое уравнение на $(x - 6)$, чтобы найти остальные корни: $$(x^3 - 5x^2 - 2x - 24) \div (x - 6) = x^2 + x + 4$$ Получаем квадратное уравнение $x^2 + x + 4 = 0$. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$$ Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = 6$. **Ответ: x = 6**

Можешь помочь решить уравнение (1/(x+2)) + (1/(x²-2x)) = 8/(x³-4x²)?

Ответ ассистента

Другие решения