Можешь ли ты упростить выражение: ( (a-3)/(a²-3a+9) - (6a-18)/(a³+27) ) : (5a-15)/(4a³+108) ?

Привет! Давай упростим это выражение вместе. Это будет как приключение в мире алгебры! a) Сначала перепишем выражение, чтобы было удобнее работать: $$\left( \frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6a-18}{a^3+27} \right) : \frac{5a-15}{4a^3+108}$$ Заметим, что $a^3 + 27$ можно разложить как сумму кубов: $a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$. Также, $6a - 18 = 6(a-3)$ и $5a - 15 = 5(a-3)$, а $4a^3 + 108 = 4(a^3 + 27) = 4(a+3)(a^2 - 3a + 9)$. Теперь перепишем выражение с учетом этих разложений: $$\left( \frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} \right) : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Приведем к общему знаменателю в скобках: $$\frac{(a-3)(a+3) - 6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Упростим числитель в скобках: $$\frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{(a+3)(a^2-3a+9)} : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}$$ $$\frac{a^2 - 6a + 9}{(a+3)(a^2-3a+9)} : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Заметим, что $a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$, поэтому: $$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Теперь заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь: $$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} \cdot \frac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)}$$ Сократим общие множители: $$\frac{(a-3)^2 \cdot 4(a+3)(a^2-3a+9)}{(a+3)(a^2-3a+9) \cdot 5(a-3)} = \frac{4(a-3)}{5}$$ **Ответ: $\frac{4(a-3)}{5}$**