Можешь доказать, что при любом значении переменной верно неравенство (p-3)(p+4) <p(p+1)?

Конечно, давай разберем эти неравенства и утверждения! 1) $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Раскроем скобки: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$ Упростим: $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Вычтем из обеих частей $p^2 + p$: $-12 < 0$. Это всегда верно. 2) $(x+1)^2 > x(x+2)$ Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычтем из обеих частей $x^2 + 2x$: $1 > 0$. Это тоже всегда верно. 3) $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$ Раскроем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$ Упростим: $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычтем из обеих частей $a^2 - 3a$: $-10 > -40$. Это верно. 4) $y(y+8) < (y+4)^2$ Раскроем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$ Вычтем из обеих частей $y^2 + 8y$: $0 < 16$. Это всегда верно. 5) $(2a-5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$ Вычтем из обеих частей $- 20a + 25$: $4a^2 \le 6a^2$ Вычтем из обеих частей $4a^2$: $0 \le 2a^2$. Это верно, так как квадрат любого числа неотрицателен. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$ Перенесем все в одну сторону: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$ Заметим, что это полный квадрат: $(a-2)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Теперь давай посмотрим на утверждения с дробями: 1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$ - верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $\frac{a}{b} < 1$ 2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$ - верно, так как при делении 2 на число больше 1, результат будет меньше 2. 3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$ - верно, потому что если делишь 2 на число меньше 1, результат будет больше 2. 4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$ - верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $a < b$. 5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$? - Не всегда. Например, если $a = -2$, то $a^2 = 4 > 1$, но $a < 1$. Так что неверно для отрицательных чисел.