Можешь решить уравнения методом введения новой переменной: а) x⁴ - 2x² - 8 = 0?

Конечно, давай решим эти уравнения методом введения новой переменной. Это значит, что мы заменим какую-то часть уравнения на новую букву, чтобы упростить его. а) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$ Заменим $x^2$ на $t$, тогда уравнение станет: $t^2 - 2t - 8 = 0$ Теперь у нас квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36$ $t_1 = (2 + \sqrt{36}) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4$ $t_2 = (2 - \sqrt{36}) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 = 4$ => $x_1 = 2$, $x_2 = -2$ $x^2 = -2$ (нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным) б) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$ Заменим $x^2$ на $t$, тогда уравнение станет: $t^2 - 11t + 18 = 0$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 * 1 * 18 = 121 - 72 = 49$ $t_1 = (11 + \sqrt{49}) / 2 = (11 + 7) / 2 = 9$ $t_2 = (11 - \sqrt{49}) / 2 = (11 - 7) / 2 = 2$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 = 9$ => $x_1 = 3$, $x_2 = -3$ $x^2 = 2$ => $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = -\sqrt{2}$ в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0$ Заменим $(x^2 - 1)$ на $t$, тогда уравнение станет: $2t^2 - 13t - 24 = 0$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 * 2 * (-24) = 169 + 192 = 361$ $t_1 = (13 + \sqrt{361}) / 4 = (13 + 19) / 4 = 8$ $t_2 = (13 - \sqrt{361}) / 4 = (13 - 19) / 4 = -1.5$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 - 1 = 8$ => $x^2 = 9$ => $x_1 = 3$, $x_2 = -3$ $x^2 - 1 = -1.5$ => $x^2 = -0.5$ (нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным) г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$ Заменим $(x^2 - 4x)$ на $t$, тогда уравнение станет: $t^2 + 9t + 20 = 0$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = 9^2 - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1$ $t_1 = (-9 + \sqrt{1}) / 2 = (-9 + 1) / 2 = -4$ $t_2 = (-9 - \sqrt{1}) / 2 = (-9 - 1) / 2 = -5$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 - 4x = -4$ => $x^2 - 4x + 4 = 0$ => $(x - 2)^2 = 0$ => $x = 2$ $x^2 - 4x = -5$ => $x^2 - 4x + 5 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4$ (нет решений, так как дискриминант отрицательный) Вот и все! Мы решили все уравнения, вводя новую переменную. Это полезный способ, чтобы упростить сложные уравнения и сделать их более понятными.