Помоги решить задачи по геометрии: 1. В треугольнике DEF известно, что ∠D = 52°, ∠E = 112°. Укажите верное неравенство

Привет! Давай разберёмся с задачами по геометрии из твоего учебника за 7 класс. 1. В треугольнике DEF известно, что $\angle D = 52^\circ$, $\angle E = 112^\circ$. Нужно указать верное неравенство. * Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle F = 180^\circ - 52^\circ - 112^\circ = 16^\circ$. * В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle E > \angle D > \angle F$, то $DF > EF > DE$. **Правильный ответ: 3) EF < DE** 2. Нужно доказать, что треугольник $KPF$ равнобедренный, если $KM = KE$ и $\angle MKF = \angle EKP$ (рис. 282). * Рассмотрим треугольники $MKE$ и $PKF$. * $KM = KE$ (дано). * $\angle MKE = \angle EKP$ (дано). * $KP$ - общая сторона. * Следовательно, $\triangle MKE = \triangle EKP$ по двум сторонам и углу между ними. * Из равенства треугольников следует, что $KF = KP$, то есть треугольник $KPF$ равнобедренный. 3. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 56^\circ$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, $\angle ADC = 104^\circ$. Найдите угол $ABC$. * Так как $AD$ - биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ$. * Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём $\angle BAD = 28^\circ$ и $\angle ADB = 104^\circ$. Тогда $\angle ABD = 180^\circ - 28^\circ - 104^\circ = 48^\circ$. * Следовательно, $\angle ABC = 48^\circ$. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5:8, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см. **Допущение:** Речь идёт про точку касания на боковой стороне, проведённой к основанию. Обозначим боковую сторону за $5x + 8x = 13x$. Так как треугольник равнобедренный, то обе боковые стороны равны $13x$. Пусть основание равно $y$. Периметр треугольника равен $13x + 13x + y = 26x + y = 72$. Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Обозначим длину касательной от вершины при основании до точки касания как $8x$. Тогда основание состоит из двух таких отрезков, то есть $y = 2 \cdot 8x = 16x$. Подставим $y = 16x$ в уравнение периметра: $26x + 16x = 72$, откуда $42x = 72$, и $x = \frac{72}{42} = \frac{12}{7}$. Тогда боковая сторона равна $13x = 13 \cdot \frac{12}{7} = \frac{156}{7}$ см, а основание равно $16x = 16 \cdot \frac{12}{7} = \frac{192}{7}$ см. 5. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ такую, что $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$. * Рассмотрим треугольник $AMK$. Так как $AM = MK$, то этот треугольник равнобедренный с основанием $AK$. Значит, $\angle MAK = \angle MKA$. * Так как $AK$ — биссектриса угла $BAC$, то $\angle MAK = \angle KAC$. Следовательно, $\angle MKA = \angle KAC$. * Углы $MKA$ и $KAC$ являются накрест лежащими углами при прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AK$. Равенство этих углов означает, что прямые $MK$ и $AC$ параллельны.