Ты просишь доказать, что значение выражения √11 + 6√2 + √11 – 6√2 — натуральное число.

Привет! Давай докажем, что значение выражения $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ — натуральное число. Для начала упростим выражение. Заметим, что $11 + 6\sqrt{2}$ и $11 - 6\sqrt{2}$ можно представить в виде полных квадратов: $11 + 6\sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$, потому что $(3 + \sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$. $11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$, потому что $(3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$. Тогда наше выражение можно переписать так: $\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2}$. Извлекаем квадратные корни: $|3 + \sqrt{2}| + |3 - \sqrt{2}|$. Так как $3 + \sqrt{2}$ и $3 - \sqrt{2}$ положительные числа, то модули можно убрать: $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2})$. Теперь упрощаем, сгруппировав обычные числа и корни: $3 + 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 6$. Итак, значение выражения равно 6. Число 6 является натуральным числом (потому что это целое положительное число). **Ответ: Значение выражения $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ является натуральным числом.**