Объясни, как найти синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если BC=8, AB=17

697. Давай разберем, как найти синус, косинус и тангенс углов в треугольнике. Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Это значит, что нам известны длины двух сторон и нужно найти тригонометрические функции для углов A и B. a) Если $BC = 8$, $AB = 17$, то: - $sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$ - $cos A = \frac{\sqrt{AB^2 - BC^2}}{AB} = \frac{\sqrt{17^2 - 8^2}}{17} = \frac{\sqrt{289 - 64}}{17} = \frac{\sqrt{225}}{17} = \frac{15}{17}$ - $tan A = \frac{BC}{\sqrt{AB^2 - BC^2}} = \frac{8}{15}$ - $sin B = \frac{\sqrt{AB^2 - BC^2}}{AB} = \frac{15}{17}$ - $cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$ - $tan B = \frac{\sqrt{AB^2 - BC^2}}{BC} = \frac{15}{8}$ б) Если $BC = 21$, $AC = 20$, то: - $sin A = \frac{BC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{21}{\sqrt{20^2 + 21^2}} = \frac{21}{\sqrt{400 + 441}} = \frac{21}{\sqrt{841}} = \frac{21}{29}$ - $cos A = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{20}{29}$ - $tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$ - $sin B = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{20}{29}$ - $cos B = \frac{BC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{21}{29}$ - $tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$ в) Если $BC = 1$, $AC = 2$, то: - $sin A = \frac{BC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ - $cos A = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ - $tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ - $sin B = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ - $cos B = \frac{BC}{\sqrt{AC^2 + BC^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ - $tan B = \frac{AC}{BC} = 2$ г) Если $AC = 24$, $AB = 25$, то: - $sin A = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{AB} = \frac{\sqrt{25^2 - 24^2}}{25} = \frac{\sqrt{49}}{25} = \frac{7}{25}$ - $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$ - $tan A = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{AC} = \frac{7}{24}$ - $sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$ - $cos B = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{AB} = \frac{7}{25}$ - $tan B = \frac{AC}{\sqrt{AB^2 - AC^2}} = \frac{24}{7}$ 698. Тут нужно построить угол $\alpha$ по известному значению тригонометрической функции. а) Если $tg \alpha = \frac{1}{2}$, то можно построить прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Угол, противолежащий катету 1, и будет искомым углом $\alpha$. б) Если $tg \alpha = \frac{3}{4}$, аналогично строим треугольник с катетами 3 и 4. Угол, противолежащий катету 3, будет углом $\alpha$. в) Если $cos \alpha = 0.2 = \frac{1}{5}$, строим прямоугольный треугольник, где отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{1}{5}$. г) Если $cos \alpha = \frac{2}{3}$, строим прямоугольный треугольник, где отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{3}$. д) Если $sin \alpha = \frac{1}{2}$, то $\alpha = 30^{\circ}$. е) Если $sin \alpha = 0.4 = \frac{2}{5}$, строим прямоугольный треугольник, где отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{5}$. 699. Здесь нам нужно найти значения синуса и тангенса угла, если известен косинус, и наоборот. а) Если $cos \alpha = \frac{1}{2}$, то $sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. б) Если $cos \alpha = \frac{2}{3}$, то $sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Тогда $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. в) Если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $cos \alpha = \sqrt{1 - sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. Тогда $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. г) Если $sin \alpha = \frac{1}{4}$, то $cos \alpha = \sqrt{1 - sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Тогда $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$. 700. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $b$, а противолежащий угол равен $\beta$. а) Выразим другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через $b$ и $\beta$. - Другой катет: $a = b \cdot ctg(\beta)$ - Гипотенуза: $c = \frac{b}{sin(\beta)}$ б) Найдите их значения, если $b = 10$ см, $\beta = 50^{\circ}$. - $a = 10 \cdot ctg(50^{\circ}) \approx 10 \cdot 0.839 = 8.39$ см - $c = \frac{10}{sin(50^{\circ})} \approx \frac{10}{0.766} = 13.05$ см