Пользуясь определением производной, найди f'(x) если 1) f(x) = -1/x²

Привет! Давай разберемся с производными. Производная — это скорость изменения функции. Её можно найти по специальному определению, которое выглядит вот так: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Это значит, что мы смотрим, насколько сильно меняется функция, когда $x$ меняется совсем чуть-чуть (на $\Delta x$), и потом представляем, что это изменение становится бесконечно малым. Давай теперь решим твои задания: **Задание 38.11.** Пользуясь определением производной, найди $f'(x)$ если: 1) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$ Чтобы найти производную, сначала запишем $f(x+\Delta x)$: $$f(x + \Delta x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2}$$ Теперь подставим это в определение производной: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\frac{1}{(x + \Delta x)^2} - (-\frac{1}{x^2})}{\Delta x}$$ $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\frac{1}{(x + \Delta x)^2} + \frac{1}{x^2}}{\Delta x}$$ Приведем дроби в числителе к общему знаменателю: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-x^2 + (x + \Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2}}{\Delta x}$$ $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-x^2 + x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2 \Delta x}$$ Сократим $x^2$ и вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2 \Delta x}$$ $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{x^2 (x + \Delta x)^2 \Delta x}$$ Теперь можем сократить $\Delta x$ (так как $\Delta x \neq 0$): $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2}$$ Теперь подставим $\Delta x = 0$: $$f'(x) = \frac{2x + 0}{x^2 (x + 0)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x}{x^2 \cdot x^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x}{x^4}$$ $$f'(x) = \frac{2}{x^3}$$ **Ответ:** $f'(x) = \frac{2}{x^3}$ 2) $f(x) = x^2 + 3x - 2$ Сначала запишем $f(x+\Delta x)$: $$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2$$ $$f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2$$ Теперь подставим это в определение производной: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2) - (x^2 + 3x - 2)}{\Delta x}$$ Раскроем скобки в числителе и сократим одинаковые слагаемые: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2}{\Delta x}$$ $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x}$$ Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x (2x + \Delta x + 3)}{\Delta x}$$ Сократим $\Delta x$ (так как $\Delta x \neq 0$): $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3)$$ Теперь подставим $\Delta x = 0$: $$f'(x) = 2x + 0 + 3$$ $$f'(x) = 2x + 3$$ **Ответ:** $f'(x) = 2x + 3$ **Допущение:** В заданиях 38.12 и 38.13 нет рисунков 38.7 и 38.8, поэтому я не могу их выполнить. Если ты хочешь, чтобы я их решил, пожалуйста, пришли изображения графиков!