Найди площадь треугольника ABC для каждого из 9 изображений.

**Problem 1** Это прямоугольный треугольник, потому что у него есть прямой угол (90 градусов) при вершине C. Мы знаем гипотенузу (самую длинную сторону напротив прямого угла) $AB=10$ и один катет $BC=8$. Чтобы найти площадь, нам нужно знать длины обоих катетов. Второй катет — это $AC$. Используем теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$AC^2 + 8^2 = 10^2$$ $$AC^2 + 64 = 100$$ $$AC^2 = 100 - 64$$ $$AC^2 = 36$$ $$AC = \sqrt{36} = 6$$ Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов ($AC=6$ и $BC=8$), мы можем найти площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC$$ $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$$ $$S = \frac{1}{2} \times 48$$ $$S = 24$$ **Ответ: 24** **Problem 2** У нас есть треугольник ABC. Мы знаем две его стороны $AB=5$ и $BC=6$, а также угол между ними $\angle B = 60^\circ$. Для нахождения площади такого треугольника есть специальная формула: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle B)$$ Подставляем известные значения: $$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ)$$ Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $$S = \frac{1}{2} \times 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = \frac{15\sqrt{3}}{2}$$ **Ответ: $\frac{15\sqrt{3}}{2}$** **Problem 3** У нас есть треугольник ABC. Из вершины A проведена высота AD к продолжению стороны BC. Угол $\angle ACB = 120^\circ$. Длина отрезка $CD=2$, а длина стороны $CB=3$. Сначала найдём высоту AD. Поскольку $\angle ACB = 120^\circ$, то смежный с ним угол $\angle ACD$ будет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC (потому что AD - высота, значит $\angle ADC = 90^\circ$). В этом треугольнике мы знаем катет $CD=2$ и угол $\angle ACD = 60^\circ$. Мы можем найти высоту AD: $$AD = CD \times \tan(\angle ACD)$$ $$AD = 2 \times \tan(60^\circ)$$ Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. $$AD = 2\sqrt{3}$$ Теперь у нас есть основание $BC=3$ и высота $AD=2\sqrt{3}$, опущенная на это основание (или на его продолжение). Площадь треугольника ABC находится по формуле: $$S = \frac{1}{2} \times BC \times AD$$ $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 2\sqrt{3}$$ $$S = 3\sqrt{3}$$ **Ответ: $3\sqrt{3}$** **Problem 4** У нас есть равнобедренный треугольник ABC (стороны AB и BC отмечены одинаковыми чёрточками, что означает $AB=BC=17$). Основание $AC=16$. Чтобы найти площадь, опустим высоту BD из вершины B на основание AC. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Это значит, что она делит основание пополам. $$AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADB (потому что BD - высота, значит $\angle ADB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $$BD^2 + AD^2 = AB^2$$ $$BD^2 + 8^2 = 17^2$$ $$BD^2 + 64 = 289$$ $$BD^2 = 289 - 64$$ $$BD^2 = 225$$ $$BD = \sqrt{225} = 15$$ Теперь у нас есть основание $AC=16$ и высота $BD=15$. Площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD$$ $$S = \frac{1}{2} \times 16 \times 15$$ $$S = 8 \times 15$$ $$S = 120$$ **Ответ: 120** **Problem 5** У нас есть треугольник ABC, у которого известны все три стороны: $AB=15$, $BC=26$, $AC=37$. Для нахождения площади треугольника по трём сторонам используется формула Герона. Сначала найдём полупериметр $p$: $$p = \frac{AB + BC + AC}{2}$$ $$p = \frac{15 + 26 + 37}{2}$$ $$p = \frac{78}{2}$$ $$p = 39$$ Теперь используем формулу Герона: $$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$ $$S = \sqrt{39(39-15)(39-26)(39-37)}$$ $$S = \sqrt{39 \times 24 \times 13 \times 2}$$ Давайте разложим числа на множители, чтобы было удобнее извлекать корень: $$39 = 3 \times 13$$ $$24 = 3 \times 8 = 3 \times 2 \times 2 \times 2$$ $$13 = 13$$ $$2 = 2$$ $$S = \sqrt{(3 \times 13) \times (3 \times 2 \times 2 \times 2) \times 13 \times 2}$$ Перегруппируем множители: $$S = \sqrt{3^2 \times 13^2 \times 2^2 \times 2^2}$$ $$S = \sqrt{3^2 \times 13^2 \times 4^2}$$ Теперь извлекаем корни: $$S = 3 \times 13 \times 4$$ $$S = 39 \times 4$$ $$S = 156$$ **Ответ: 156** **Problem 6** У нас есть равнобедренный треугольник ABC (стороны AB и BC отмечены одинаковыми чёрточками, что означает $AB=BC$). Угол $\angle A = 30^\circ$. Основание $AC=6$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle C = \angle A = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$ Опустим высоту BD из вершины B на основание AC. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой. $$AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. Угол $\angle A = 30^\circ$, катет $AD=3$. Мы можем найти высоту BD: $$BD = AD \times \tan(\angle A)$$ $$BD = 3 \times \tan(30^\circ)$$ Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. $$BD = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ Теперь у нас есть основание $AC=6$ и высота $BD=\sqrt{3}$. Площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD$$ $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{3}$$ $$S = 3\sqrt{3}$$ **Ответ: $3\sqrt{3}$** **Problem 7** У нас есть треугольник ABC. Проведена высота AD к стороне BC. Известно, что $AC=6$, $\angle CAD = 45^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC (потому что AD - высота). В этом треугольнике $AC=6$ (гипотенуза) и $\angle CAD = 45^\circ$. Найдем высоту AD: $$AD = AC \times \sin(\angle CAD)$$ $$AD = 6 \times \sin(45^\circ)$$ Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$AD = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$ Найдем отрезок CD: $$CD = AC \times \cos(\angle CAD)$$ $$CD = 6 \times \cos(45^\circ)$$ Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$CD = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. В этом треугольнике $AD=3\sqrt{2}$ и $\angle B = 30^\circ$. Найдем отрезок BD: $$BD = \frac{AD}{\tan(\angle B)}$$ $$BD = \frac{3\sqrt{2}}{\tan(30^\circ)}$$ Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $$BD = \frac{3\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$ Теперь у нас есть основание $BC = CD + BD = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{6} = 3(\sqrt{2} + \sqrt{6})$. И высота $AD = 3\sqrt{2}$. Площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \times BC \times AD$$ $$S = \frac{1}{2} \times 3(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \times 3\sqrt{2}$$ $$S = \frac{9\sqrt{2}}{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})$$ Раскроем скобки: $$S = \frac{9}{2} (\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \sqrt{6})$$ $$S = \frac{9}{2} (2 + \sqrt{12})$$ Мы знаем, что $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$. $$S = \frac{9}{2} (2 + 2\sqrt{3})$$ Вынесем 2 за скобки в числителе: $$S = \frac{9 \times 2 (1 + \sqrt{3})}{2}$$ $$S = 9(1 + \sqrt{3})$$ **Ответ: $9(1 + \sqrt{3})$** **Problem 8** У нас есть треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. Отрезок OA=4, это радиус описанной окружности $R=4$. На сторонах AB, BC, AO и OC нарисованы одинарные чёрточки. Это означает, что $AB = BC = AO = OC = 4$. Так как $AO=OC=4$ и $AB=BC=4$, то стороны $AB=BC=R=4$. Треугольники AOB и BOC являются равнобедренными, так как $OA=OB=R$ и $OB=OC=R$. Но поскольку $AB=R$ и $BC=R$, то треугольники AOB и BOC являются равносторонними. Значит, $\angle AOB = 60^\circ$ и $\angle BOC = 60^\circ$. Угол $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Теперь найдем сторону AC, используя теорему косинусов в треугольнике AOC: $$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \times OA \times OC \times \cos(\angle AOC)$$ $$AC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \times 4 \times 4 \times \cos(120^\circ)$$ $$AC^2 = 16 + 16 - 32 \times (-\frac{1}{2})$$ $$AC^2 = 32 + 16$$ $$AC^2 = 48$$ $$AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$ Итак, стороны треугольника ABC: $a=4$, $b=4$, $c=4\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности $R=4$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{abc}{4R}$$ $$S = \frac{4 \times 4 \times 4\sqrt{3}}{4 \times 4}$$ $$S = \frac{64\sqrt{3}}{16}$$ $$S = 4\sqrt{3}$$ **Допущение: Отметки на сторонах AB, BC, AO, OC означают, что $AB = BC = AO = OC = 4$.** **Ответ: $4\sqrt{3}$** **Problem 9** У нас есть равнобедренный треугольник ABC (стороны AB и BC отмечены одинаковыми чёрточками, что означает $AB=BC$). Треугольник вписан в окружность с центром O. Отрезок OA=5, это радиус описанной окружности $R=5$. Основание $AC=8$. Найдем высоту BD, опущенную на основание AC. В равнобедренном треугольнике высота BD также является медианой, то есть $D$ - середина $AC$. $$AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Центр описанной окружности O лежит на высоте BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD (где D - середина AC). $OA=R=5$, $AD=4$. По теореме Пифагора: $$OD^2 + AD^2 = OA^2$$ $$OD^2 + 4^2 = 5^2$$ $$OD^2 + 16 = 25$$ $$OD^2 = 9$$ $$OD = 3$$ Теперь нам нужно найти полную высоту BD. Поскольку центр O изображен *внутри* треугольника, это означает, что треугольник ABC остроугольный. В остроугольном равнобедренном треугольнике D (середина основания) находится между O (центром описанной окружности) и B (вершиной). Значит, $BD = BO - OD$. Так как $BO$ это тоже радиус описанной окружности, $BO=R=5$. $$BD = R - OD = 5 - 3 = 2$$ Теперь, когда у нас есть основание $AC=8$ и высота $BD=2$, мы можем найти площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD$$ $$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 2$$ $$S = 8$$ **Допущение: Расположение центра O внутри треугольника, как показано на рисунке, указывает на то, что треугольник является остроугольным.** **Ответ: 8**