Реши систему неравенств: {5x + 1 <= 3x - 3, x - 1 <= 2x + 2}

Привет! Давай разберем эти интересные задачки по математике. Всё объясню по шагам, чтобы было понятно! **№1. Реши систему неравенств:** $$\begin{cases} 5x + 1 \leq 3x - 3 \\ x - 1 \leq 2x + 2 \end{cases}$$ Сначала решим каждое неравенство по отдельности: 1. **Первое неравенство:** $5x + 1 \leq 3x - 3$ Перенесем все $x$ в одну сторону, а числа в другую: $5x - 3x \leq -3 - 1$ $2x \leq -4$ Разделим обе части на 2: $x \leq -2$ 2. **Второе неравенство:** $x - 1 \leq 2x + 2$ Перенесем $x$ в одну сторону, а числа в другую: $x - 2x \leq 2 + 1$ $-x \leq 3$ Чтобы избавиться от минуса перед $x$, умножим или разделим обе части на -1. Важно помнить, что при этом знак неравенства меняется на противоположный! $x \geq -3$ Теперь нам нужно найти такие числа $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям: $x \leq -2$ (то есть $x$ меньше или равен -2) и $x \geq -3$ (то есть $x$ больше или равен -3). Это значит, что $x$ находится между -3 и -2 (включая сами числа -3 и -2). **Ответ:** $[-3; -2]$ или $-3 \leq x \leq -2$ **№2. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$:** $$\frac{a^{-12}}{a^{-8} \cdot a^{-6}}$$ Вспомним правила работы со степенями: * Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ * Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Сначала упростим знаменатель (то, что внизу дроби): $a^{-8} \cdot a^{-6} = a^{-8 + (-6)} = a^{-8 - 6} = a^{-14}$ Теперь подставим это обратно в выражение: $$\frac{a^{-12}}{a^{-14}}$$ Используем правило деления степеней: $a^{-12 - (-14)} = a^{-12 + 14} = a^2$ **Ответ:** $a^2$ **№3. Найдите значение выражения при $a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{2}{3}$:** $$\frac{a^2 - b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{ab + b^2}$$ Давайте сначала упростим само выражение. Это как большая головоломка! 1. В числителе первой дроби (сверху) $a^2 - b^2$ — это формула "разность квадратов", которая раскладывается как $(a-b)(a+b)$. 2. В знаменателе второй дроби $ab + b^2$ мы можем вынести общий множитель $b$ за скобки: $b(a+b)$. Теперь перепишем выражение с этими изменениями: $$\frac{(a-b)(a+b)}{a^2} \cdot \frac{a}{b(a+b)}$$ Теперь мы видим, что можем сократить одинаковые части в числителе и знаменателе: * Можно сократить $(a+b)$. * Можно сократить один $a$ из $a^2$ в знаменателе с $a$ в числителе второй дроби. В результате сокращений останется: $$\frac{a-b}{ab}$$ Теперь подставим заданные значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{2}{3}$: 1. Найдем $a-b$: $a-b = \frac{1}{2} - \frac{2}{3}$ Приведем дроби к общему знаменателю (это 6): $\frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6}$ 2. Найдем $ab$: $ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Теперь разделим полученные результаты: $$\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь: $-\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ **Ответ:** $-\frac{1}{2}$ **№4. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 м, а его гипотенуза равна 20 м. Найдите катеты треугольника.** Давай представим наш прямоугольный треугольник. У него есть два катета (назовем их $x$ и $y$) и гипотенуза (самая длинная сторона, она дана и равна 20 м). Мы знаем две важные вещи: 1. **Периметр** — это сумма длин всех сторон. $x + y + 20 = 48$ Отсюда можем найти сумму катетов: $x + y = 48 - 20 = 28$ 2. **Теорема Пифагора** для прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. $x^2 + y^2 = 20^2$ $x^2 + y^2 = 400$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 28 \\ x^2 + y^2 = 400 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 28 - x$. И подставим это во второе уравнение: $x^2 + (28 - x)^2 = 400$ Раскроем скобки $(28-x)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $x^2 + (28^2 - 2 \cdot 28 \cdot x + x^2) = 400$ $x^2 + (784 - 56x + x^2) = 400$ Приведем подобные слагаемые: $2x^2 - 56x + 784 = 400$ Перенесем 400 в левую часть: $2x^2 - 56x + 784 - 400 = 0$ $2x^2 - 56x + 384 = 0$ Мы можем упростить это уравнение, разделив все его члены на 2: $x^2 - 28x + 192 = 0$ Теперь решим это квадратное уравнение. Например, с помощью формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Здесь $a=1$, $b=-28$, $c=192$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192$ $D = 784 - 768$ $D = 16$ Найдем корни $x$: $x = \frac{-(-28) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{28 \pm 4}{2}$ У нас будет два возможных значения для $x$: $x_1 = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16$ $x_2 = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$ Теперь найдем $y$ для каждого случая, используя $y = 28 - x$: * Если $x = 16$, то $y = 28 - 16 = 12$. * Если $x = 12$, то $y = 28 - 12 = 16$. Получается, что катеты треугольника — это 12 м и 16 м. **Ответ:** Катеты треугольника равны 12 м и 16 м. **№5. Найдите область определения функции:** $$y = \frac{\sqrt{12 - 4x - x^2}}{1 - x}$$ Область определения функции — это все значения $x$, при которых функция имеет смысл. Здесь у нас есть два важных ограничения: 1. **Выражение под квадратным корнем не может быть отрицательным.** То есть $12 - 4x - x^2 \geq 0$. 2. **Знаменатель дроби не может быть равен нулю.** То есть $1 - x \neq 0$. Давай разберем каждое ограничение по очереди. **Ограничение 1: $12 - 4x - x^2 \geq 0$** Перепишем неравенство в более привычном виде, умножив всё на -1 и поменяв знак неравенства: $x^2 + 4x - 12 \leq 0$ Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. Можно разложить на множители: ищем два числа, которые в произведении дают -12, а в сумме 4. Это числа 6 и -2. Значит, $(x+6)(x-2) = 0$. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$. Теперь посмотрим на график функции $y = x^2 + 4x - 12$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (потому что коэффициент при $x^2$ положительный, он равен 1). Нас интересует, где эта парабола находится ниже или на оси $x$ (то есть $y \leq 0$). Это происходит между корнями, включая сами корни. Итак, $-6 \leq x \leq 2$. **Ограничение 2: $1 - x \neq 0$** Это значит, что $1 \neq x$, или $x \neq 1$. **Совмещаем оба ограничения:** Мы нашли, что $x$ должен быть в промежутке от -6 до 2 (включительно), и при этом $x$ не должен быть равен 1. Значит, из интервала $[-6; 2]$ нужно исключить точку $x=1$. Это будет два интервала: от -6 до 1 (не включая 1) и от 1 (не включая 1) до 2. **Ответ:** $[-6; 1) \cup (1; 2]$