Докажи, используя определение частного, что $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y$

Привет! Давай докажем эти равенства. Чтобы доказать, что одно число или выражение делится на другое и получается определённый результат, мы можем умножить этот результат на делитель. Если получится исходное делимое, значит, мы доказали! Или можно просто поделить как обычно. а) Докажем, что $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y$. Мы знаем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a = 3x$ (потому что $(3x)^2 = 9x^2$) и $b = 2y$ (потому что $(2y)^2 = 4y^2$). Тогда $(9x^2 - 4y^2)$ можно записать как $(3x - 2y)(3x + 2y)$. Теперь наше выражение выглядит так: $$(3x - 2y)(3x + 2y) : (3x + 2y)$$ Если мы поделим $(3x - 2y)(3x + 2y)$ на $(3x + 2y)$, то $(3x + 2y)$ сократится, и останется только $(3x - 2y)$. Значит, $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y$. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что $(4a^2 - 20a + 25) : (2a - 5) = 2a - 5$. Мы знаем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = 2a$ (потому что $(2a)^2 = 4a^2$) и $b = 5$ (потому что $5^2 = 25$). А $2ab = 2 \cdot (2a) \cdot 5 = 20a$. Значит, $(4a^2 - 20a + 25)$ можно записать как $(2a - 5)^2$. Теперь наше выражение выглядит так: $$(2a - 5)^2 : (2a - 5)$$ Или, по-другому, $$(2a - 5)(2a - 5) : (2a - 5)$$ Если мы поделим $(2a - 5)(2a - 5)$ на $(2a - 5)$, то один множитель $(2a - 5)$ сократится, и останется только $(2a - 5)$. Значит, $(4a^2 - 20a + 25) : (2a - 5) = 2a - 5$. Что и требовалось доказать. в) Докажем, что $\frac{3m^3 - 6m^2 - 3m}{m^2 - 2m - 1} = 3m$. Давай попробуем умножить делитель $(m^2 - 2m - 1)$ на частное $(3m)$. Если получим делимое $(3m^3 - 6m^2 - 3m)$, то всё доказано! Умножаем: $$3m \cdot (m^2 - 2m - 1)$$ Раскрываем скобки: $$3m \cdot m^2 - 3m \cdot 2m - 3m \cdot 1$$ $$3m^{1+2} - 6m^{1+1} - 3m$$ $$3m^3 - 6m^2 - 3m$$ Мы получили исходное делимое $3m^3 - 6m^2 - 3m$. Значит, $\frac{3m^3 - 6m^2 - 3m}{m^2 - 2m - 1} = 3m$. Что и требовалось доказать. г) Докажем, что $\frac{4a^2 - 11a - 3}{a - 3} = 4a + 1$. Давай тоже умножим делитель $(a - 3)$ на частное $(4a + 1)$. $$(a - 3)(4a + 1)$$ Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй: $$a \cdot 4a + a \cdot 1 - 3 \cdot 4a - 3 \cdot 1$$ $$4a^2 + a - 12a - 3$$ Теперь приведём подобные слагаемые ($a - 12a$): $$4a^2 - 11a - 3$$ Мы получили исходное делимое $4a^2 - 11a - 3$. Значит, $\frac{4a^2 - 11a - 3}{a - 3} = 4a + 1$. Что и требовалось доказать.