Докажи четвёртый признак параллелограмма.

**Доказательство четвёртого признака параллелограмма:** Давайте вспомним, что такое параллелограмм. Это такой четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. У параллелограмма есть несколько важных признаков, которые помогают нам его узнать. Четвёртый признак параллелограмма гласит: *Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.* Давай докажем это вместе! **Дано:** Четырёхугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC$ и $BO = OD$. **Надо доказать:** $ABCD$ — параллелограмм. **Доказательство:** 1. Рассмотрим два треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. * Сторона $AO = OC$ (по условию). * Сторона $BO = OD$ (по условию). * Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные углы (они образуются при пересечении двух прямых). Значит, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle AOB = \triangle COD$. Из равенства этих треугольников следует, что $AB = CD$ (соответствующие стороны). 2. Также, из равенства $\triangle AOB = \triangle COD$ следует, что $\angle BAO = \angle DCO$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Если накрест лежащие углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$. 3. Теперь рассмотрим два других треугольника: $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. * Сторона $BO = OD$ (по условию). * Сторона $OC = AO$ (по условию). * Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные углы. Снова по первому признаку равенства треугольников $\triangle BOC = \triangle DOA$. Из равенства этих треугольников следует, что $BC = AD$ (соответствующие стороны). 4. И снова, из равенства $\triangle BOC = \triangle DOA$ следует, что $\angle BCO = \angle DAO$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Если накрест лежащие углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны: $BC \parallel AD$. Итак, мы получили, что в четырёхугольнике $ABCD$: * $AB \parallel CD$ * $BC \parallel AD$ Это означает, что противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$ попарно параллельны. А это и есть определение параллелограмма! Значит, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать. Надеюсь, тебе всё понятно! Если есть вопросы, спрашивай.