Найти промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{x+2}$

Привет! Давай разберемся с этими функциями и найдем, где они "растут", а где "падают". Чтобы это выяснить, нам нужно найти производную функции (она показывает "скорость" изменения функции) и посмотреть, где она положительная (функция возрастает) и где отрицательная (функция убывает). ### Задание 902 #### 1) $y = \frac{1}{x+2}$ 1. **Область определения функции:** Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, значит $x \neq -2$. Функция существует на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$. 2. **Находим производную:** $$y' = \left(\frac{1}{x+2}\right)' = -\frac{1}{(x+2)^2}$$ 3. **Определяем знаки производной:** Знаменатель $(x+2)^2$ всегда будет положительным, потому что это квадрат числа (кроме точки $x=-2$, где функция не определена). Перед дробью стоит знак минус. Значит, производная $y'$ всегда будет отрицательной. $$y' = -\frac{1}{(x+2)^2} < 0$$ при всех $x \neq -2$. 4. **Вывод:** Функция убывает на всей своей области определения. * **Промежуток убывания:** $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. * **Промежутков возрастания нет.** #### 2) $y = 1 + \frac{2}{x}$ 1. **Область определения функции:** Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Функция существует на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. 2. **Находим производную:** $$y' = \left(1 + \frac{2}{x}\right)' = (1)' + (2x^{-1})' = 0 + 2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$$ 3. **Определяем знаки производной:** Знаменатель $x^2$ всегда будет положительным (кроме $x=0$, где функция не определена). В числителе стоит $-2$, что является отрицательным числом. Значит, производная $y'$ всегда будет отрицательной. $$y' = -\frac{2}{x^2} < 0$$ при всех $x \neq 0$. 4. **Вывод:** Функция убывает на всей своей области определения. * **Промежуток убывания:** $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. * **Промежутков возрастания нет.** #### 3) $y = -\sqrt{x-3}$ 1. **Область определения функции:** Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому $x-3 \ge 0$, значит $x \ge 3$. Функция определена на промежутке $[3, \infty)$. 2. **Находим производную:** $$y' = (-(x-3)^{\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}(x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-3)' = -\frac{1}{2}(x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = -\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$$ 3. **Определяем знаки производной:** Для $x > 3$, $\sqrt{x-3}$ будет положительным числом. В числителе стоит $-1$, а в знаменателе $2\sqrt{x-3}$, что будет положительным. Значит, вся дробь будет отрицательной. $$y' = -\frac{1}{2\sqrt{x-3}} < 0$$ при $x > 3$. 4. **Вывод:** Функция убывает на всей своей области определения. * **Промежуток убывания:** $[3; +\infty)$. * **Промежутков возрастания нет.** #### 4) $y = 1 + 3\sqrt{x-5}$ 1. **Область определения функции:** Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому $x-5 \ge 0$, значит $x \ge 5$. Функция определена на промежутке $[5, \infty)$. 2. **Находим производную:** $$y' = (1 + 3(x-5)^{\frac{1}{2}})' = (1)' + 3(x-5)^{\frac{1}{2}}' = 0 + 3 \cdot \frac{1}{2}(x-5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-5)' = \frac{3}{2}(x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{3}{2\sqrt{x-5}}$$ 3. **Определяем знаки производной:** Для $x > 5$, $\sqrt{x-5}$ будет положительным числом. В числителе стоит $3$, а в знаменателе $2\sqrt{x-5}$, что тоже будет положительным. Значит, вся дробь будет положительной. $$y' = \frac{3}{2\sqrt{x-5}} > 0$$ при $x > 5$. 4. **Вывод:** Функция возрастает на всей своей области определения. * **Промежуток возрастания:** $[5; +\infty)$. * **Промежутков убывания нет.**