Найди производную функции 1/4x^8 + 3sin(3x)

Привет! Давай разберёмся, как найти производные этих функций. Это совсем несложно, если делать всё по шагам. **2) Найдём производную функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin(3x)$** Функция состоит из двух частей (слагаемых), поэтому мы найдём производную каждой части отдельно, а потом сложим результаты. * **Первая часть:** $(\frac{1}{4}x^8)'$ Число $\frac{1}{4}$ просто остаётся множителем, а для $x^8$ используем правило $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. $$(\frac{1}{4}x^8)' = \frac{1}{4} \cdot (x^8)' = \frac{1}{4} \cdot 8x^{8-1} = 2x^7$$ * **Вторая часть:** $(3\sin(3x))'$ Здесь у нас сложная функция. Сначала выносим множитель $3$. Производная от синуса — это косинус. Но так как под синусом не просто $x$, а $3x$, мы должны ещё умножить на производную от $3x$ (она равна 3). $$(3\sin(3x))' = 3 \cdot (\sin(3x))' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\cos(3x)$$ * **Собираем всё вместе:** $$y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$$ **Ответ: $2x^7 + 9\cos(3x)$** --- **5) Найдём производную функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln(4x)$** Действуем так же: по частям. * **Первая часть:** $(\frac{1}{3x^3})'$ Чтобы было удобнее, запишем дробь как степень с отрицательным показателем: $\frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{-3}$. Теперь найти производную просто: $$(\frac{1}{3}x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -x^{-4}$$ А теперь вернём обратно в вид дроби: $-\frac{1}{x^4}$. * **Вторая часть:** $(\frac{1}{2}\ln(4x))'$ Это снова сложная функция. Множитель $\frac{1}{2}$ остаётся. Производная от натурального логарифма $\ln(x)$ — это $\frac{1}{x}$. У нас внутри логарифма $4x$, поэтому производная будет $\frac{1}{4x}$, и её нужно умножить на производную от $4x$ (она равна 4). $$(\frac{1}{2}\ln(4x))' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{4}{8x} = \frac{1}{2x}$$ * **Собираем всё вместе:** $$y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$$ **Ответ: $-\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$**