За сколько дней выполнит этот заказ бригада из трех рабочих?

Привет! Давай разберёмся с этими задачками. Это совсем не сложно, если решать по шагам. Вот решения для некоторых из них. ### Задача №15 **Условие:** Три рабочих разной квалификации могут выполнить заказ за 12, 20 и 30 дней соответственно. За сколько дней они выполнят заказ, работая вместе? **Решение:** Представим всю работу как одну большую задачу, равную 1. 1. Найдём, какую часть работы каждый рабочий выполняет за один день. Это их «скорость» или производительность. * Первый рабочий: $ ?rac{1}{12} $ работы в день. * Второй рабочий: $ ?rac{1}{20} $ работы в день. * Третий рабочий: $ ?rac{1}{30} $ работы в день. 2. Теперь сложим их производительности, чтобы узнать, какую часть работы они сделают вместе за один день. $$ ?rac{1}{12} + ?rac{1}{20} + ?rac{1}{30} $$ Найдём общий знаменатель. Это 60. $$ ?rac{5}{60} + ?rac{3}{60} + ?rac{2}{60} = ?rac{5+3+2}{60} = ?rac{10}{60} = ?rac{1}{6} $$ Вместе они делают $ ?rac{1}{6} $ всей работы за день. 3. Чтобы найти, за сколько дней они справятся со всей работой (то есть с 1), нужно разделить 1 на их общую производительность. $$ 1 : ?rac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6 $$ **Ответ:** Работая вместе, они выполнят заказ за 6 дней. ### Задача №17 **Условие:** Велосипедист проезжает путь между двумя пунктами за 16 минут, а пешеход проходит его за 48 минут. Через сколько минут они встретятся, если отправятся одновременно навстречу друг другу? **Решение:** 1. Пусть всё расстояние между пунктами равно 1. 2. Найдём скорость каждого. Скорость — это расстояние, делённое на время. * Скорость велосипедиста: $ 1 : 16 = ?rac{1}{16} $ расстояния в минуту. * Скорость пешехода: $ 1 : 48 = ?rac{1}{48} $ расстояния в минуту. 3. Когда они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Это называется скоростью сближения. $$ ?rac{1}{16} + ?rac{1}{48} $$ Приведём к общему знаменателю 48. $$ ?rac{3}{48} + ?rac{1}{48} = ?rac{4}{48} = ?rac{1}{12} $$ Это значит, что за минуту они вместе проходят $ ?rac{1}{12} $ всего пути. 4. Чтобы найти время до встречи, нужно всё расстояние (1) разделить на скорость сближения. $$ 1 : ?rac{1}{12} = 1 \cdot 12 = 12 $$ **Ответ:** Они встретятся через 12 минут. ### Задача №19 **Условие:** Катер проходит расстояние по течению реки за 5 часов, а против течения — за 6 часов. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот? **Решение:** Скорость плота равна скорости течения реки. Нам нужно её найти. 1. Пусть $V_к$ — собственная скорость катера, а $V_т$ — скорость течения. Расстояние обозначим за $S$. 2. По течению катер плывёт со скоростью $V_к + V_т$. Против течения — $V_к - V_т$. 3. Мы можем записать два уравнения для расстояния: * По течению: $ S = (V_к + V_т) \cdot 5 $ * Против течения: $ S = (V_к - V_т) \cdot 6 $ 4. Так как расстояние одно и то же, приравняем правые части уравнений: $$ 5 \cdot (V_к + V_т) = 6 \cdot (V_к - V_т) $$ $$ 5V_к + 5V_т = 6V_к - 6V_т $$ $$ 5V_т + 6V_т = 6V_к - 5V_к $$ $$ 11V_т = V_к $$ Мы выяснили, что скорость катера в 11 раз больше скорости течения. 5. Теперь подставим это в первое уравнение, чтобы выразить расстояние через скорость течения: $$ S = (11V_т + V_т) \cdot 5 = 12V_т \cdot 5 = 60V_т $$ 6. Время, за которое плот проплывёт это расстояние, равно $S$, делённому на скорость плота (которая равна $V_т$): $$ \text{Время} = \frac{S}{V_т} = \frac{60V_т}{V_т} = 60 $$ **Ответ:** Плот проплывёт это расстояние за 60 часов. ### Задача №22 **Условие:** Первая и вторая бригады могут выполнить задание за 9 дней, вторая и третья — за 18 дней, а первая и третья — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе? **Решение:** Эта задачка похожа на №15, но немного хитрее. 1. Пусть производительность первой бригады — $Б_1$, второй — $Б_2$, третьей — $Б_3$. Вся работа — это 1. 2. Запишем, что нам известно, в виде уравнений: * $Б_1 + Б_2 = \frac{1}{9}$ (производительность первой и второй вместе) * $Б_2 + Б_3 = \frac{1}{18}$ (второй и третьей) * $Б_1 + Б_3 = \frac{1}{12}$ (первой и третьей) 3. Сложим все три уравнения: $$ (Б_1 + Б_2) + (Б_2 + Б_3) + (Б_1 + Б_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} $$ $$ 2Б_1 + 2Б_2 + 2Б_3 = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} $$ $$ 2 \cdot (Б_1 + Б_2 + Б_3) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$ Слева у нас удвоенная производительность всех трёх бригад вместе. 4. Найдём их общую производительность, разделив результат на 2: $$ Б_1 + Б_2 + Б_3 = \frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{8} $$ Значит, вместе за день они выполняют $ \frac{1}{8} $ работы. 5. Время на всю работу: $$ 1 : \frac{1}{8} = 8 $$ **Ответ:** Три бригады вместе выполнят задание за 8 дней. ### Задача №24 (а) **Условие:** Вычислите рациональным способом: $ 12\frac{5}{8} - (7\frac{1}{2} - 2\frac{3}{8}) $. **Решение:** «Рационально» — значит «удобно, по-умному». 1. Сначала раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит минус, знаки внутри меняются на противоположные: $$ 12\frac{5}{8} - 7\frac{1}{2} + 2\frac{3}{8} $$ 2. Теперь сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями дробей, так их удобнее считать: $$ (12\frac{5}{8} + 2\frac{3}{8}) - 7\frac{1}{2} $$ 3. Выполним сложение в скобках: $$ 12\frac{5}{8} + 2\frac{3}{8} = (12+2) + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8}) = 14 + \frac{8}{8} = 14 + 1 = 15 $$ 4. Осталось простое вычитание: $$ 15 - 7\frac{1}{2} = 7\frac{1}{2} $$ **Ответ:** $7\frac{1}{2}$