Найди все натуральные значения n, при которых значение данного выражения является натуральным числом: (7n+4)/n

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Оно не такое сложное, как кажется. Чтобы найти все натуральные значения $n$, при которых выражение будет натуральным числом, нам нужно упростить каждую дробь. Мы можем разделить числитель (верхнюю часть дроби) на знаменатель (нижнюю часть) почленно. Давай посмотрим на каждый пример. а) $\frac{7n + 4}{n}$ Разделим каждое слагаемое вверху на $n$: $$ \frac{7n}{n} + \frac{4}{n} = 7 + \frac{4}{n} $$ Чтобы всё выражение было натуральным числом, дробь $\frac{4}{n}$ тоже должна быть целым числом. Это возможно, если $n$ — делитель числа 4. Делители 4: 1, 2, 4. **Ответ: n = 1, 2, 4** б) $\frac{5n - 9}{n}$ Точно так же делим: $$ \frac{5n}{n} - \frac{9}{n} = 5 - \frac{9}{n} $$ Здесь $n$ должно быть делителем числа 9. Это числа 1, 3, 9. Но есть ещё одно условие: результат должен быть натуральным числом (то есть больше нуля). Проверим делители: - Если $n=1$, то $5 - \frac{9}{1} = 5 - 9 = -4$ (не натуральное). - Если $n=3$, то $5 - \frac{9}{3} = 5 - 3 = 2$ (подходит). - Если $n=9$, то $5 - \frac{9}{9} = 5 - 1 = 4$ (подходит). **Ответ: n = 3, 9** в) $\frac{n^2 + 5n + 2}{n}$ Делим каждое слагаемое на $n$: $$ \frac{n^2}{n} + \frac{5n}{n} + \frac{2}{n} = n + 5 + \frac{2}{n} $$ Выражение будет натуральным, если $n$ — делитель числа 2. Делители 2: 1, 2. **Ответ: n = 1, 2** г) $\frac{n^2 - 6n + 8}{n}$ Делим: $$ \frac{n^2}{n} - \frac{6n}{n} + \frac{8}{n} = n - 6 + \frac{8}{n} $$ Здесь $n$ — делитель числа 8. Это 1, 2, 4, 8. Проверяем, чтобы результат был натуральным числом: - Если $n=1$, то $1 - 6 + \frac{8}{1} = -5 + 8 = 3$ (подходит). - Если $n=2$, то $2 - 6 + \frac{8}{2} = -4 + 4 = 0$ (не натуральное). - Если $n=4$, то $4 - 6 + \frac{8}{4} = -2 + 2 = 0$ (не натуральное). - Если $n=8$, то $8 - 6 + \frac{8}{8} = 2 + 1 = 3$ (подходит). **Ответ: n = 1, 8** д) $\frac{3n^2 + 9n + 6}{3n}$ Делим: $$ \frac{3n^2}{3n} + \frac{9n}{3n} + \frac{6}{3n} = n + 3 + \frac{2}{n} $$ Снова видим, что $n$ должно быть делителем числа 2. Это 1, 2. **Ответ: n = 1, 2** е) $\frac{4n^2 - 8n + 16}{4n}$ Делим: $$ \frac{4n^2}{4n} - \frac{8n}{4n} + \frac{16}{4n} = n - 2 + \frac{4}{n} $$ Здесь $n$ — делитель числа 4. Это 1, 2, 4. Проверяем: - Если $n=1$, то $1 - 2 + \frac{4}{1} = -1 + 4 = 3$ (подходит). - Если $n=2$, то $2 - 2 + \frac{4}{2} = 0 + 2 = 2$ (подходит). - Если $n=4$, то $4 - 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$ (подходит). **Ответ: n = 1, 2, 4** Ты отлично справляешься!