Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется.
### 20. При каком значении b принимает наименьшее значение дробь
Чтобы дробь была наименьшей, нужно, чтобы её числитель (то, что сверху) был самым маленьким, ведь знаменатель (то, что снизу) у нас — положительное число.
а) $\frac{b^2 + 7}{21}$
Выражение $b^2$ не может быть отрицательным. Самое маленькое его значение — это 0 (когда $b=0$).
Значит, наименьшее значение числителя будет $0 + 7 = 7$.
**Ответ: при $b=0$.**
б) $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$
Здесь то же самое: выражение $(b-2)^2$ — это квадрат, и его наименьшее значение равно 0. Это произойдёт, когда $b-2=0$, то есть $b=2$.
Значит, наименьшее значение числителя будет $0 + 16 = 16$.
**Ответ: при $b=2$.**
### 21. Верно ли утверждение
Давай сначала упростим знаменатель дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$.
$4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9$
Выражение в скобках — это формула квадрата суммы: $(2x+y)^2$. Значит, весь знаменатель равен $(2x+y)^2 + 9$.
Наименьшее значение $(2x+y)^2$ равно 0. Тогда наименьшее значение знаменателя: $0+9=9$.
Дробь будет **наибольшей**, когда её знаменатель **наименьший**.
Наибольшее значение дроби: $\frac{18}{9} = 2$.
Теперь проверим утверждения:
а) Наибольшее значение дроби равно 1. **Неверно**.
б) Наибольшее значение дроби равно 2. **Верно**.
в) Наименьшее значение дроби равно 2. **Неверно**. (Это наибольшее значение).
### 22. Преобразуйте в многочлен
Здесь нам помогут формулы сокращённого умножения.
а) $(2a + 3)(2a - 3)$ — это формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.
$$(2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$$
б) $(y - 5b)(y + 5b)$ — та же формула.
$$y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$$
в) $(0.8x + y)(y - 0.8x)$ — поменяем слагаемые местами в первой скобке, чтобы было удобнее: $(y + 0.8x)(y - 0.8x)$.
$$y^2 - (0.8x)^2 = y^2 - 0.64x^2$$
г) $(b + 0.5)^2$ — это квадрат суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$$b^2 + 2 \cdot b \cdot 0.5 + (0.5)^2 = b^2 + b + 0.25$$
д) $(a - 2x)^2$ — это квадрат разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$$
е) $(ab - 1)^2$ — та же формула.
$$(ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$$
### 23. Разложите на множители
Снова используем формулы, но в обратную сторону.
а) $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$
б) $16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4-c)(4+c)$
в) $a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$
г) $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$
д) $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$
е) $b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b+3)(b^2 - 3b + 9)$
### 24. Задача
Давай посчитаем, где Анне Александровне будет выгоднее купить 5 коробок конфет.
**1. Магазин «Сладость»**
* Цена: 350 р. за коробку.
* Акция: 3 коробки по цене 2-х.
Чтобы купить 5 коробок, она может взять 3 по акции и 2 по обычной цене.
* Стоимость по акции: $2 \times 350 = 700$ р.
* Стоимость остальных двух: $2 \times 350 = 700$ р.
* Всего: $700 + 700 = 1400$ р.
**2. Магазин «Джем»**
* Цена: 390 р. за коробку.
* Акция: при покупке больше 4-х коробок — скидка 30% на всё.
Анна покупает 5 коробок, так что скидка действует.
* Стоимость без скидки: $5 \times 390 = 1950$ р.
* Скидка составит: $1950 \times 0.30 = 585$ р.
* Итоговая стоимость: $1950 - 585 = 1365$ р.
**Сравнение**
В «Сладости» покупка обойдётся в 1400 р., а в «Джеме» — в 1365 р. Выгоднее в «Джеме».
Теперь найдём, сколько она сэкономит, выбрав более дешёвый вариант:
$1400 - 1365 = 35$ р.
**Ответ: Выгоднее в магазине «Джем». Анна Александровна сможет сэкономить 35 рублей.**
