Докажи, что при любом значении букв верны неравенства: 1) $(a+3)(a+1) > a(a+4)$; 2) $3(b-4)+2b < 5b-10$; 3) $(c-4)(c+4) > c^2-20$; 4) $x(x+6)-x^2 < 2(3x+1)$

Привет! Давай разберемся с этими неравенствами. Нужно доказать, что они верны при любых значениях букв. Для этого мы будем раскрывать скобки и упрощать выражения. 1) $(a + 3)(a + 1) > a(a + 4)$ Сначала раскроем скобки в левой части: $(a+3)(a+1) = a \cdot a + a \cdot 1 + 3 \cdot a + 3 \cdot 1 = a^2 + a + 3a + 3 = a^2 + 4a + 3$ Теперь раскроем скобки в правой части: $a(a+4) = a \cdot a + a \cdot 4 = a^2 + 4a$ Подставим эти выражения обратно в неравенство: $a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$ Теперь вычтем $a^2$ и $4a$ из обеих частей неравенства (как будто переносим их через знак неравенства с противоположным знаком). Получится: $3 > 0$ Это утверждение всегда верное! Значит, исходное неравенство тоже всегда верно. 2) $3(b - 4) + 2b < 5b - 10$ Сначала раскроем скобки в левой части: $3(b - 4) + 2b = 3b - 3 \cdot 4 + 2b = 3b - 12 + 2b$ Теперь приведем подобные слагаемые в левой части: $3b + 2b - 12 = 5b - 12$ Подставим это в неравенство: $5b - 12 < 5b - 10$ Вычтем $5b$ из обеих частей неравенства: $-12 < -10$ Это утверждение всегда верное, потому что число -12 действительно меньше, чем -10! Значит, и исходное неравенство всегда верно. 3) $(c - 4)(c + 4) > c^2 - 20$ Сначала раскроем скобки в левой части. Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x=c$ и $y=4$. $(c - 4)(c + 4) = c^2 - 4^2 = c^2 - 16$ Теперь подставим это в неравенство: $c^2 - 16 > c^2 - 20$ Вычтем $c^2$ из обеих частей неравенства: $-16 > -20$ Это утверждение всегда верное, потому что число -16 больше, чем -20! Значит, и исходное неравенство всегда верно. 4) $x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1)$ Сначала раскроем скобки в левой части: $x(x + 6) - x^2 = x \cdot x + x \cdot 6 - x^2 = x^2 + 6x - x^2$ Приведем подобные слагаемые в левой части ($x^2 - x^2$ равно 0): $6x$ Теперь раскроем скобки в правой части: $2(3x + 1) = 2 \cdot 3x + 2 \cdot 1 = 6x + 2$ Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство: $6x < 6x + 2$ Вычтем $6x$ из обеих частей неравенства: $0 < 2$ Это утверждение всегда верное! Значит, и исходное неравенство тоже всегда верно. **Все неравенства доказаны!**