Разбери решение математической задачи из картинки

Привет! Давай разберёмся, что интересного у нас есть на картинке. На картинке показано математическое задание по нахождению критических точек функции. Вот какая информация содержится в изображении: 1. **Задание:** Нужно найти значения констант $a$ и $b$ для функции $f(x) = \sin(x) + ax + b$. Известно, что эта функция имеет критические точки в $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$. Также нужно проверить, являются ли эти критические точки локальными максимумами или минимумами. 2. **Первый шаг решения (нахождение первой производной):** Чтобы найти критические точки, сначала нужно найти производную функции $f(x)$. $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + ax + b)$$ $$f'(x) = \cos(x) + a$$ Константа $b$ исчезает при дифференцировании, потому что производная от константы равна нулю. 3. **Второй шаг решения (использование условия критических точек):** Критические точки – это такие точки, где производная функции равна нулю, то есть $f'(x) = 0$. Значит, $\cos(x) + a = 0$. 4. **Третий шаг решения (нахождение значения 'a'):** Мы знаем, что $x = \frac{\pi}{2}$ является критической точкой. Подставим её в уравнение производной: $$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + a = 0$$ Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, получаем: $$0 + a = 0$$ $$a = 0$$ Также известно, что $x = \frac{3\pi}{2}$ является критической точкой. Подставим и её: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + a = 0$$ Поскольку $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$, снова получаем: $$0 + a = 0$$ $$a = 0$$ Оба значения $x$ дают один и тот же результат для $a$, что говорит о том, что $a=0$ – это верное значение. 5. **Нахождение значения 'b':** Из условия нахождения критических точек (когда первая производная равна нулю) значение $b$ определить нельзя, так как $b$ – это свободный член, который "исчезает" при взятии производной. Поэтому $b$ может быть любым действительным числом. 6. **Четвёртый шаг решения (проверка типа критических точек с помощью второй производной):** Чтобы определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом, нужно найти вторую производную $f''(x)$. $$f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x) + a)$$ $$f''(x) = -\sin(x)$$ Теперь подставим критические точки в $f''(x)$: * Для $x = \frac{\pi}{2}$: $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$$ Поскольку $f''\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$, в точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция имеет **локальный максимум**. * Для $x = \frac{3\pi}{2}$: $$f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$$ Поскольку $f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) > 0$, в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ функция имеет **локальный минимум**.