Упрости выражения: а) $(2x^2y)^3 \cdot (-xy^3)^2$; б) $(-x - 7y)^2 - (x + 7y)(7y - x)$

Привет! Давай вместе упростим эти выражения. Это как разгадывать головоломку, только с числами и буквами. ### Задание а) $(2x^2y)^3 \cdot (-xy^3)^2$ Чтобы упростить это выражение, нужно вспомнить, как работать со степенями. **Шаг 1: Раскроем первые скобки $(2x^2y)^3$.** Когда у нас произведение в скобках возводится в степень, мы должны возвести в эту степень каждый множитель внутри скобок. * Число 2 возводим в третью степень: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. * Переменную $x^2$ возводим в третью степень: $(x^2)^3$. Здесь нужно перемножить показатели степени: $2 \cdot 3 = 6$. Получаем $x^6$. * Переменную $y$ (это $y^1$) возводим в третью степень: $(y^1)^3$. Перемножаем показатели: $1 \cdot 3 = 3$. Получаем $y^3$. Итак, первая часть выражения превращается в: $$(2x^2y)^3 = 8x^6y^3$$ **Шаг 2: Раскроем вторые скобки $(-xy^3)^2$.** Здесь тоже каждый множитель возводим в квадрат. * Знак минус возводим в квадрат: $(-1)^2 = 1$ (потому что минус на минус даёт плюс). * Переменную $x$ (это $x^1$) возводим в квадрат: $(x^1)^2 = x^{1 \cdot 2} = x^2$. * Переменную $y^3$ возводим в квадрат: $(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$. Итак, вторая часть выражения превращается в: $$(-xy^3)^2 = x^2y^6$$ **Шаг 3: Перемножим результаты, полученные в Шаге 1 и Шаге 2.** Теперь нам нужно перемножить $8x^6y^3$ и $x^2y^6$. * Числовые коэффициенты перемножаем: $8 \cdot 1 = 8$. * Переменные с одинаковым основанием перемножаем, складывая их показатели степени: * Для $x$: $x^6 \cdot x^2 = x^{6+2} = x^8$. * Для $y$: $y^3 \cdot y^6 = y^{3+6} = y^9$. Объединяем все части: $$8 \cdot x^8 \cdot y^9$$ **Итог для а):** $$ (2x^2y)^3 \cdot (-xy^3)^2 = 8x^6y^3 \cdot x^2y^6 = 8x^{6+2}y^{3+6} = 8x^8y^9 $$ **Ответ: $8x^8y^9$** --- ### Задание б) $(-x - 7y)^2 - (x + 7y)(7y - x)$ Здесь нам пригодятся формулы сокращенного умножения. **Шаг 1: Упростим первую часть $(-x - 7y)^2$.** Обрати внимание, что $(-x - 7y)$ можно записать как $-(x + 7y)$. Тогда $(-x - 7y)^2 = (-(x + 7y))^2$. Когда минус в скобках возводится в квадрат, он исчезает, так как $(-1)^2 = 1$. Значит, $(-x - 7y)^2 = (x + 7y)^2$. Это квадрат суммы. Раскрывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = x$, $b = 7y$. $$(x + 7y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7y + (7y)^2 = x^2 + 14xy + 49y^2$$ **Шаг 2: Упростим вторую часть $(x + 7y)(7y - x)$.** Это очень похоже на формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Давай посмотрим на наши множители: * $(x + 7y)$ можно записать как $(7y + x)$. * $(7y - x)$ так и оставим. Теперь видно, что $a = 7y$ и $b = x$. Применяем формулу: $$(7y + x)(7y - x) = (7y)^2 - x^2 = 49y^2 - x^2$$ **Шаг 3: Вычтем вторую часть из первой.** Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное: $$(x^2 + 14xy + 49y^2) - (49y^2 - x^2)$$ Важно быть внимательным со знаками, когда перед скобками стоит минус. Он меняет знаки всех слагаемых внутри скобок. $$x^2 + 14xy + 49y^2 - 49y^2 + x^2$$ **Шаг 4: Приведем подобные слагаемые.** * $x^2 + x^2 = 2x^2$ * $14xy$ (таких больше нет) * $49y^2 - 49y^2 = 0$ (они взаимно уничтожаются) Собираем все вместе: $$2x^2 + 14xy$$ **Итог для б):** $$ (-x - 7y)^2 - (x + 7y)(7y - x) = (x+7y)^2 - ((7y)^2 - x^2) = (x^2 + 14xy + 49y^2) - (49y^2 - x^2) = x^2 + 14xy + 49y^2 - 49y^2 + x^2 = 2x^2 + 14xy $$ **Ответ: $2x^2 + 14xy$**