1. Найдите угол $CAD_2$ многогранника, изображенного на рисунке.

Для решения задач удобно ввести систему координат. Пусть точка A находится в начале координат $A(0; 0; 0)$. **Задача 1: Найти угол $CAD_2$.** Введем координаты: $A(0; 0; 0)$, $C(2; 2; 0)$, $D_2(0; 1; 2)$. Векторы: $\vec{AC} = (2; 2; 0)$, $\vec{AD_2} = (0; 1; 2)$. Косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD_2}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD_2}|} = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2}{\sqrt{2^2+2^2+0^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Угол $\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}}$. Ответ: $\arccos \frac{1}{\sqrt{10}}$ (или $\approx 71,57^\circ$). **Задача 2: Найти угол $ABD$.** Вершины: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$. Векторы: $\vec{BA} = (-2; 0; 0)$, $\vec{BD} = (-2; 2; 0)$. Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{4 + 0 + 0}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{4+4}} = \frac{4}{2 \cdot \sqrt{8}} = \frac{4}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Угол $45^\circ$. Ответ: $45^\circ$. **Задача 3: Найти $\text{tg} \angle B_1A_2C_2$.** Система координат с началом в точке $A$ на нижнем уровне: $A_2 = (0; 1; 2)$, $B_1 = (1; 1; 2)$, $C_2 = (2; 2; 2)$. Векторы: $\vec{A_2B_1} = (1; 0; 0)$, $\vec{A_2C_2} = (2; 1; 0)$. Угол между векторами в плоскости $z=2$ (прямоугольник): $\text{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий}} = \frac{1}{2} = 0,5$. Ответ: $0,5$. **Задача 4: Найти $\text{tg} \angle ABB_1$.** $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $B_1(3;1;1)$. Векторы: $\vec{BA} = (-3; 0; 0)$, $\vec{BB_1} = (0; 1; 1)$. Угол между ними $90^\circ$, так как $AB$ лежит в плоскости $xy$, а $BB_1$ имеет компоненту $z$. Однако, из рисунка видно, что $A, B$ — точки основания. $\triangle ABB_1$ — прямоугольный с катетами $AB$ и $BB_1$. Катет $AB = 3$, $BB_1 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $\text{tg} \angle ABB_1 = \frac{BB_1}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$. **Задача 5: Найти $\text{tg} \angle C_3D_3B_1$.** Это сложная геометрическая конструкция. Рассматривая треугольник $C_3D_3B_1$: $C_3 = (2; 2; 2)$, $D_3 = (1; 2; 2)$, $B_1 = (2; 1; 1)$. $D_3C_3 = 1$ (отрезок по оси x). $D_3B_1 = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. Угол $\angle C_3D_3B_1$ — угол между отрезком на верхней грани и диагональю. В прямоугольном треугольнике с катетами 1 и $\sqrt{2}$ (проекция на плоскость $yz$), $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$.