Реши систему рациональных уравнений 1 и 8

Конечно, давай решим эти системы уравнений.

Система 1 $$\begin{cases} \frac{5x+6}{5y+6} = \frac{6x+5}{6y+5}, \ \frac{5}{x} = \frac{1}{6-y}. \end{cases}$$

Первое уравнение: $$(5x+6)(6y+5) = (6x+5)(5y+6)$$ $$30xy + 25x + 36y + 30 = 30xy + 36x + 25y + 30$$ $$25x + 36y = 36x + 25y$$ $$11y = 11x$$ $$y = x$$

Второе уравнение: $$\frac{5}{x} = \frac{1}{6-y}$$ $$5(6-y) = x$$ $$30 - 5y = x$$

Подставляем $y = x$ в последнее уравнение: $$30 - 5x = x$$ $$30 = 6x$$ $$x = 5$$ Так как $y = x$, то $y = 5$.

Ответ: $x=5$, $y=5$

Система 8 $$\begin{cases} \frac{y}{x+6} = -6, \ y^2 + \frac{y^2}{x+6} = 7. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $x+6$: $$x+6 = \frac{y}{-6}$$

Подставим это во второе уравнение: $$y^2 + \frac{y^2}{\frac{y}{-6}} = 7$$ $$y^2 - 6y = 7$$ $$y^2 - 6y - 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $y$: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$ $$y_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$$ $$y_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1$$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$.

Для $y_1 = 7$: $$x+6 = \frac{7}{-6}$$ $$x = -\frac{7}{6} - 6 = -\frac{7}{6} - \frac{36}{6} = -\frac{43}{6}$$

Для $y_2 = -1$: $$x+6 = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}$$ $$x = \frac{1}{6} - 6 = \frac{1}{6} - \frac{36}{6} = -\frac{35}{6}$$

Ответ: $(-\frac{43}{6}, 7)$ и $(-\frac{35}{6}, -1)$