При каких значениях a функция y=a^2/x является убыввющей на промежутке от нуля, не включая, до плюс бесконечности?

Question

Вопрос:

При каких значениях a функция y=a^2/x является убыввющей на промежутке от нуля, не включая, до плюс бесконечности?

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы функция $y = \frac{a^2}{x}$ была убывающей на промежутке $(0; +\infty)$, нужно, чтобы её производная была отрицательной на этом промежутке.

Найдем производную функции $y$ по $x$: $$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{a^2}{x} \right) = a^2 \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = a^2 \frac{d}{dx} (x^{-1}) = a^2(-1)x^{-2} = -\frac{a^2}{x^2}$$

Функция $y$ убывает, если $y' < 0$. То есть: $$-\frac{a^2}{x^2} < 0$$ $$\frac{a^2}{x^2} > 0$$

Так как $x \in (0; +\infty)$, то $x^2 > 0$. Значит, неравенство выполняется, если $a^2 > 0$. Это условие выполняется для всех $a eq 0$.

Ответ: Функция $y = \frac{a^2}{x}$ является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$ при $a eq 0$.

При каких значениях a функция y=a^2/x является убыввющей на промежутке от нуля, не включая, до плюс бесконечности?

Ответ ассистента

Другие решения