Как решить эти номера

Привет! Давай разберем эти задания по логарифмам и уравнениям. Я покажу решения шаг за шагом.

3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

Чтобы найти логарифм числа по основанию 3, нужно понять, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить данное число.

• 1) 3: log₃(3) = 1, так как 3¹ = 3.
• 2) 1/3: log₃(1/3) = -1, так как 3⁻¹ = 1/3.
• 3) 1: log₃(1) = 0, так как 3⁰ = 1.
• 4) 81: log₃(81) = 4, так как 3⁴ = 81.
• 5) 1/9: log₃(1/9) = -2, так как 3⁻² = 1/9.
• 6) 1/243: log₃(1/243) = -5, так как 3⁻⁵ = 1/243.
• 7) √3: log₃(√3) = 1/2, так как 3^(1/2) = √3.
• 8) 3√3: log₃(3√3) = log₃(3^(3/2)) = 3/2, так как (3)^(3/2) = 3√3.

4. Найдите логарифм по основанию 1/2 числа:

Теперь нужно понять, в какую степень нужно возвести 1/2, чтобы получить данное число.

• 1) 1: log₁/₂(1) = 0, так как (1/2)⁰ = 1.
• 2) 2: log₁/₂(2) = -1, так как (1/2)⁻¹ = 2.
• 3) 8: log₁/₂(8) = -3, так как (1/2)⁻³ = 2³ = 8.
• 4) 0,25: log₁/₂(0,25) = 2, так как (1/2)² = 1/4 = 0,25.
• 5) 1/16: log₁/₂(1/16) = 4, так как (1/2)⁴ = 1/16.
• 6) 1/√2: log₁/₂(1/√2) = 1/2, так как (1/2)^(1/2) = 1/√2.
• 7) √2: log₁/₂(√2) = -1/2, так как (1/2)^(-1/2) = √2.
• 8) 64: log₁/₂(64) = -6, так как (1/2)⁻⁶ = 2⁶ = 64.

5. Найдите логарифм по основанию 1/3 числа:

• 1) 1/9: log₁/₃(1/9) = 2, так как (1/3)² = 1/9.
• 2) 1/27: log₁/₃(1/27) = 3, так как (1/3)³ = 1/27.
• 3) 3: log₁/₃(3) = -1, так как (1/3)⁻¹ = 3.
• 4) 81: log₁/₃(81) = -4, так как (1/3)⁻⁴ = 3⁴ = 81.
• 5) 1/√3: log₁/₃(1/√3) = 1/2, так как (1/3)^(1/2) = 1/√3.

6. Найдите десятичный логарифм числа:

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10.

• 1) 1: log₁₀(1) = 0, так как 10⁰ = 1.
• 2) 10: log₁₀(10) = 1, так как 10¹ = 10.
• 3) 100: log₁₀(100) = 2, так как 10² = 100.
• 4) 1000: log₁₀(1000) = 3, так как 10³ = 1000.
• 5) 0,1: log₁₀(0,1) = -1, так как 10⁻¹ = 0,1.
• 6) 0,01: log₁₀(0,01) = -2, так как 10⁻² = 0,01.
• 7) 0,00001: log₁₀(0,00001) = -5, так как 10⁻⁵ = 0,00001.
• 8) 0,000001: log₁₀(0,000001) = -6, так как 10⁻⁶ = 0,000001.

7. Чему равен логарифм числа 10 000 по основанию:

Здесь нужно найти такое основание x, что logₓ(10000) = 4. Это значит, что x⁴ = 10000.

10000 = 10⁴, значит, x = 10.

Ответ: 10

8. Найдите логарифм числа 729 по основанию:

Нужно найти такое основание x, что logₓ(729) = 6. То есть x⁶ = 729.

Заметим, что 729 = 3⁶.

Ответ: 3

9. Решите уравнение:

• 1) log₇(x) = -1: x = 7⁻¹ = 1/7. Ответ: x = 1/7
• 2) log₄(x) = 1/2: x = 4^(1/2) = √4 = 2. Ответ: x = 2
• 3) log√₃(x) = 6: x = (√3)⁶ = 3³ = 27. Ответ: x = 27
• 4) log₂(x) = 0: x = 2⁰ = 1. Ответ: x = 1
• 5) logₓ(9) = 2: x² = 9, значит x = 3 (так как основание логарифма должно быть положительным). Ответ: x = 3
• 6) logₓ(0,25) = -2: x⁻² = 0,25 = 1/4, значит x² = 4, x = 2. Ответ: x = 2
• 7) logₓ(2) = 2: x² = 2, значит x = √2. Ответ: x = √2
• 8) logₓ(5) = 1/3: x^(1/3) = 5, значит x = 5³ = 125. Ответ: x = 125

10. Решите уравнение:

• 1) log₆(x) = 2: x = 6² = 36. Ответ: x = 36
• 2) log√5 = 3/2: x = (√5)^(3/2) = (5^(1/2))^(3/2) = 5^(3/4). Ответ: x = 5^(3/4)
• 3) log₀,₂(x) = -3: x = (0,2)⁻³ = (1/5)⁻³ = 5³ = 125. Ответ: x = 125
• 4) logₓ(6) = 5: x⁵ = 6, значит x = ⁶√6. Ответ: x = ⁶√6
• 5) logₓ(81) = 4: x⁴ = 81, значит x = 3. Ответ: x = 3
• 6) logₓ(11) = -1: x⁻¹ = 11, значит x = 1/11. Ответ: x = 1/11

11. Решите уравнение:

• 1) 6ˣ = 2: x = log₆(2). Ответ: x = log₆(2)
• 2) 5ˣ = 10: x = log₅(10). Ответ: x = log₅(10)
• 3) 0,4ˣ = 9: x = log₀,₄(9). Ответ: x = log₀,₄(9)
• 4) 2^(x-3) = 5: x - 3 = log₂(5), значит x = log₂(5) + 3. Ответ: x = log₂(5) + 3
• 5) (1/3)^(1-x) = 2: 1 - x = log₁/₃(2), значит x = 1 - log₁/₃(2). Ответ: x = 1 - log₁/₃(2)
• 6) 0,3^(3x+2) = 7: 3x + 2 = log₀,₃(7), значит x = (log₀,₃(7) - 2) / 3. Ответ: x = (log₀,₃(7) - 2) / 3

12. Решите уравнение:

• 1) 3ˣ = 2: x = log₃(2). Ответ: x = log₃(2)
• 2) 10ˣ = 1/6: x = log₁₀(1/6) = -log₁₀(6). Ответ: x = -log₁₀(6)
• 3) 7^(x+5) = 9: x + 5 = log₇(9), значит x = log₇(9) - 5. Ответ: x = log₇(9) - 5

4.13. Вычислите:

• 1) 2^(log₂32): 2^(log₂32) = 32. (По основному логарифмическому тождеству). Ответ: 32
• 3) 7^(2log₇2): 7^(log₇2²) = 7^(log₇4) = 4. Ответ: 4
• 5) (1/3)^(log₃6): (1/3)^(log₃6) = (3⁻¹)^(log₃6) = 3^(-log₃6) = 3^(log₃(6⁻¹)) = 6⁻¹ = 1/6. Ответ: 1/6

Надеюсь, теперь все понятно! Если остались вопросы, обязательно спрашивай.