реши

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Нам нужно найти уравнение общей касательной к графикам двух функций: f(x) = x² + 4x + 8 и g(x) = x² + 8x + 4.

Шаг 1: Общий вид уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ имеет вид: y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).

Шаг 2: Найдем производные функций

• f'(x) = 2x + 4
• g'(x) = 2x + 8

Шаг 3: Запишем уравнения касательных в общем виде

Пусть x₁ — точка касания для f(x), а x₂ — точка касания для g(x). Тогда:

• Касательная к f(x): y = (2x₁ + 4)(x - x₁) + (x₁² + 4x₁ + 8)
• Касательная к g(x): y = (2x₂ + 8)(x - x₂) + (x₂² + 8x₂ + 4)

Шаг 4: Упростим уравнения касательных

• Касательная к f(x): y = (2x₁ + 4)x - 2x₁² - 4x₁ + x₁² + 4x₁ + 8 = (2x₁ + 4)x - x₁² + 8
• Касательная к g(x): y = (2x₂ + 8)x - 2x₂² - 8x₂ + x₂² + 8x₂ + 4 = (2x₂ + 8)x - x₂² + 4

Шаг 5: Условие общей касательной

Чтобы касательные были общими, у них должны совпадать угловые коэффициенты и свободные члены. Значит:

1. 2x₁ + 4 = 2x₂ + 8 => x₁ = x₂ + 2
2. -x₁² + 8 = -x₂² + 4

Шаг 6: Решим систему уравнений

Подставим x₁ = x₂ + 2 во второе уравнение:

• -(x₂ + 2)² + 8 = -x₂² + 4
• -x₂² - 4x₂ - 4 + 8 = -x₂² + 4
• -4x₂ = 0 => x₂ = 0

Тогда x₁ = x₂ + 2 = 0 + 2 = 2.

Шаг 7: Найдем уравнение общей касательной

Подставим x₁ = 2 в уравнение касательной к f(x):

y = (2 * 2 + 4)x - 2² + 8 = 8x - 4 + 8 = 8x + 4

Ответ:

Уравнение общей касательной: y = 8x + 4.