Решите уравнение 3sin x cos x + cos^2 x =1

Question

Вопрос:

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай вместе решим это уравнение.

Сначала перепишем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1. Заменим 1 на sin2 x + cos2 x:

3sin x cos x + cos2 x = sin2 x + cos2 x

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

3sin x cos x + cos2 x - sin2 x - cos2 x = 0

cos2 x сокращается, и у нас остается:

3sin x cos x - sin2 x = 0

Вынесем sin x за скобку:

sin x (3cos x - sin x) = 0

Теперь у нас есть два случая:

Решим первый случай: sin x = 0

Это происходит, когда x = πn, где n - целое число.

Решим второй случай: 3cos x - sin x = 0

Перенесем sin x в правую часть:

3cos x = sin x

Разделим обе части на cos x (предполагая, что cos x ≠ 0):

3 = sin x / cos x 3 = tg x

Значит, x = arctg(3) + πk, где k - целое число.

Объединим оба решения:

Ответ: x = πn, x = arctg(3) + πk, где n и k - целые числа.