ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.17

По определению, система событий образует полную группу, если: 1. События являются попарно несовместными (их попарные произведения равны невозможному событию $\varnothing$). 2. Сумма (объединение) этих событий равна достоверному событию $\Omega$. Обозначим рассматриваемые события: $E_1 = A$, $E_2 = \overline{A}B$, $E_3 = \overline{A + B}$. **1. Докажем попарную несовместность событий:** * Для событий $E_1$ и $E_2$: $$ E_1 \cdot E_2 = A \cdot (\overline{A}B) = (A \cdot \overline{A}) \cdot B $$ Так как $A \cdot \overline{A} = \varnothing$, то: $$ \varnothing \cdot B = \varnothing $$ События $A$ и $\overline{A}B$ несовместны. * Для событий $E_1$ и $E_3$: По закону де Моргана $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$, тогда: $$ E_1 \cdot E_3 = A \cdot \overline{A + B} = A \cdot (\overline{A} \cdot \overline{B}) = (A \cdot \overline{A}) \cdot \overline{B} = \varnothing \cdot \overline{B} = \varnothing $$ События $A$ и $\overline{A + B}$ несовместны. * Для событий $E_2$ и $E_3$: $$ E_2 \cdot E_3 = (\overline{A}B) \cdot \overline{A + B} = (\overline{A}B) \cdot (\overline{A} \cdot \overline{B}) = \overline{A} \cdot (B \cdot \overline{B}) $$ Так как $B \cdot \overline{B} = \varnothing$, получаем: $$ \overline{A} \cdot \varnothing = \varnothing $$ События $\overline{A}B$ и $\overline{A + B}$ несовместны. Следовательно, события $A$, $\overline{A}B$ и $\overline{A + B}$ попарно несовместны. **2. Найдем сумму этих событий:** $$ E_1 + E_2 + E_3 = A + \overline{A}B + \overline{A + B} $$ Преобразуем выражение $A + \overline{A}B$, применив распределительный закон сложения относительно умножения: $$ A + \overline{A}B = (A + \overline{A})(A + B) $$ Поскольку $A + \overline{A} = \Omega$ (достоверное событие), получаем: $$ \Omega \cdot (A + B) = A + B $$ Подставим полученный результат в общую сумму: $$ (A + B) + \overline{A + B} $$ Сумма любого события и противоположного ему равна достоверному событию: $$ (A + B) + \overline{A + B} = \Omega $$ Так как события попарно несовместны и их сумма образует достоверное событие, события $A$, $\overline{A}B$ и $\overline{A + B}$ образуют полную группу. Что и требовалось доказать.