ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.110

Всего в коробке находится альчиков: $$ n = 2 + 4 + 5 = 11 $$ Число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка определяется формулой сочетаний: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ **1)** Найдем количество способов извлечь любые 3 альчика из общего числа 11: $$ C_{11}^3 = \frac{11!}{3! \cdot 8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165 $$ **2)** Чтобы все 3 альчика были разных цветов, нужно выбрать по одному альчику каждого из трех цветов (1 синий из 2, 1 красный из 4 и 1 белый из 5). По правилу произведения: $$ C_2^1 \cdot C_4^1 \cdot C_5^1 = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40 $$ **3)** Требуется извлечь 3 альчика так, чтобы два из них были одного цвета (соответственно, третий альчик должен быть другого цвета). Возможны три взаимоисключающих случая: 1. Выбраны 2 синих альчика и 1 альчик другого цвета (красный или белый, всего таких $4 + 5 = 9$): $$ C_2^2 \cdot C_9^1 = 1 \cdot 9 = 9 $$ 2. Выбраны 2 красных альчика и 1 альчик другого цвета (синий или белый, всего таких $2 + 5 = 7$): $$ C_4^2 \cdot C_7^1 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42 $$ 3. Выбраны 2 белых альчика и 1 альчик другого цвета (синий или красный, всего таких $2 + 4 = 6$): $$ C_5^2 \cdot C_6^1 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60 $$ По правилу сложения найдем общее число способов: $$ 9 + 42 + 60 = 111 $$ Ответ: 1) 165; 2) 40; 3) 111.