ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков вопросы - стр.150

### 1. Формулы двойного аргумента и их доказательство **Формулы:** 1. $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ 2. $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$ 3. $\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$ 4. $\operatorname{ctg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}$ **Доказательство:** * **Для синуса двойного угла:** Используем формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Положив $x = y = \alpha$, получаем: $$ \sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$ * **Для косинуса двойного угла:** Используем формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. Положив $x = y = \alpha$, получаем: $$ \cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$ Применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, запишем формулу в других видах: 1. Заменив $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$: $$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $$ 2. Заменив $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ \cos 2\alpha = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha $$ * **Для тангенса двойного угла:** Используем формулу тангенса суммы $\operatorname{tg}(x + y) = \dfrac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}$. Положив $x = y = \alpha$ (при $\alpha \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$ и $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$), получаем: $$ \operatorname{tg} 2\alpha = \operatorname{tg}(\alpha + \alpha) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $$ * **Для котангенса двойного угла:** По определению котангенса $\operatorname{ctg} 2\alpha = \dfrac{1}{\operatorname{tg} 2\alpha}$ (при $\alpha \neq \dfrac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$): $$ \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{2 \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 - \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}}{\frac{2}{\operatorname{ctg} \alpha}} = \frac{\frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}}{\frac{2}{\operatorname{ctg} \alpha}} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} $$ --- ### 2. Формулы половинного аргумента и их доказательство *(Примечание: в формулировке пропущен знак функции для $\sin \frac{\alpha}{2}$)*. **Формулы:** 1. $\left|\sin \dfrac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha}{2}}$ или $\sin \dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha}{2}}$ 2. $\left|\cos \dfrac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}$ или $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}$ 3. $\left|\operatorname{tg} \dfrac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$ или $\operatorname{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$ 4. $\left|\operatorname{ctg} \dfrac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}$ или $\operatorname{ctg} \dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}$ *(Знак перед корнем выбирается в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $\dfrac{\alpha}{2}$).* **Доказательство:** * **Для синуса половинного угла:** Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим $x = \dfrac{\alpha}{2}$: $$ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $$ Выразим $\sin^2 \dfrac{\alpha}{2}$: $$ 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha \implies \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} $$ Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $$ * **Для косинуса половинного угла:** Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставим $x = \dfrac{\alpha}{2}$: $$ \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 $$ Выразим $\cos^2 \dfrac{\alpha}{2}$: $$ 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha \implies \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} $$ Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$ * **Для тангенса половинного угла:** Используем определение тангенса $\operatorname{tg}^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}$ (при $\alpha \neq \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$): $$ \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $$ Отсюда: $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} $$ * **Для котангенса половинного угла:** Используем определение котангенса $\operatorname{ctg}^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$ (при $\alpha \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$): $$ \operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $$ Отсюда: $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} $$