ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков вопросы - стр.155

### 1. Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и их доказательство **Формулы:** 1) $$ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $$ 2) $$ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2} $$ 3) $$ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $$ 4) $$ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} $$ **Доказательство:** Введем замену переменных: пусть $\alpha + \beta = x$ и $\alpha - \beta = y$. Сложив и вычтя эти равенства, выразим $\alpha$ и $\beta$: $$ \alpha = \frac{x + y}{2}, \quad \beta = \frac{x - y}{2} $$ 1) Используем формулы синуса суммы и синуса разности: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$. Сложим эти два равенства почленно: $$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\alpha \cos\beta $$ Подставив значения $\alpha$ и $\beta$, получаем: $$ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $$ 2) Вычтем из первого равенства второе: $$ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos\alpha \sin\beta $$ Подставив значения $\alpha$ и $\beta$, получаем: $$ \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2} $$ 3) Используем формулы косинуса суммы и косинуса разности: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$, $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$. Сложим эти два равенства: $$ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta $$ Подставив значения $\alpha$ и $\beta$, получаем: $$ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $$ 4) Вычтем из первого равенства второе: $$ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2 \sin\alpha \sin\beta $$ Подставив значения $\alpha$ и $\beta$, получаем: $$ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} $$ Формулы доказаны. --- ### 2. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и их доказательство **Формулы:** 1) $$ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $$ 2) $$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $$ 3) $$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $$ **Доказательство:** 1) Запишем формулы для синуса суммы и разности: $$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $$ $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $$ Сложим эти равенства почленно: $$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\alpha \cos\beta $$ Разделив обе части равенства на $2$, получим: $$ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $$ 2) Запишем формулы для косинуса суммы и разности: $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $$ $$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $$ Сложим эти равенства почленно: $$ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta $$ Разделив обе части на $2$, получим: $$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $$ 3) Вычтем из формулы косинуса разности формулу косинуса суммы: $$ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta $$ Разделив обе части на $2$, получим: $$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $$ Формулы доказаны. --- ### 3. Преобразование суммы (разности) $\sin\alpha \pm \cos\beta$ в произведение Выражение содержит разноименные функции (синус и косинус), поэтому напрямую применить формулы суммы или разности нельзя. Чтобы преобразовать выражение в произведение, нужно перейти к одноименным функциям с помощью формул приведения: $$ \cos\beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) \quad \text{или} \quad \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $$ После этого применяется формула суммы (разности) синусов либо косинусов. **Пример (через сумму синусов):** $$ \sin\alpha + \cos\beta = \sin\alpha + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = 2 \sin \frac{\alpha + \frac{\pi}{2} - \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)}{2} = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) $$ Аналогично для разности: $$ \sin\alpha - \cos\beta = \sin\alpha - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$