ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков вопросы - стр.124

### 1. Основные свойства тригонометрических функций и их обоснование Пусть точка $P_\alpha(x; y)$ получена поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ по единичной окружности ($x^2 + y^2 = 1$). По определению: $$ \cos \alpha = x, \quad \sin \alpha = y, \quad \operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0), \quad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y} \ (y \neq 0) $$ --- #### а) Знаки тригонометрических функций Знаки функций зависят от того, в какой координатной четверти лежит угол $\alpha$ (точка $P_\alpha(x; y)$): * **Синус ($\sin \alpha = y$):** Знак определяется знаком ординаты $y$. * В I и II четвертях $y > 0$, следовательно, $\sin \alpha > 0$ ($+$). * В III и IV четвертях $y < 0$, следовательно, $\sin \alpha < 0$ ($-$). * **Косинус ($\cos \alpha = x$):** Знак определяется знаком абсциссы $x$. * В I и IV четвертях $x > 0$, следовательно, $\cos \alpha > 0$ ($+$). * Во II и III четвертях $x < 0$, следовательно, $\cos \alpha < 0$ ($-$). * **Тангенс ($\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x}$) и котангенс ($\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y}$):** Знаки определяются знаками частного координат $x$ и $y$. * В I и III четвертях $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки ($+/+$ или $-/-$), поэтому $\operatorname{tg} \alpha > 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha > 0$ ($+$). * Во II и IV четвертях $x$ и $y$ имеют разные знаки ($+/-$ или $-/+$), поэтому $\operatorname{tg} \alpha < 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha < 0$ ($-$). --- #### б) Чётность и нечётность * **Функция $y = \cos x$ — чётная:** $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. * **Функции $y = \sin x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$ — нечётные:** $$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \quad \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha, \quad \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha $$ **Обоснование:** При повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы $\alpha$ и $-\alpha$ получаем точки $P_\alpha(x; y)$ и $P_{-\alpha}(x; -y)$. Эти точки симметричны относительно оси абсцисс $Ox$, следовательно, их абсциссы равны, а ординаты противоположны: * $\cos(-\alpha) = x = \cos \alpha$; * $\sin(-\alpha) = -y = -\sin \alpha$; * $\operatorname{tg}(-\alpha) = \frac{-y}{x} = -\frac{y}{x} = -\operatorname{tg} \alpha$; * $\operatorname{ctg}(-\alpha) = \frac{x}{-y} = -\frac{x}{y} = -\operatorname{ctg} \alpha$. --- #### в) Периодичность Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Для любого целого $k \in \mathbb{Z}$: $$ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha, \quad \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha $$ $$ \operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg} \alpha, \quad \operatorname{ctg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{ctg} \alpha $$ **Обоснование:** 1. Полный оборот по единичной окружности соответствует углу $2\pi$ радиан ($360^\circ$). При повороте точки на угол $\alpha + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) она совершает $k$ полных оборотов и возвращается в то же самое положение $P_\alpha(x; y)$. Значит, координаты $x$ и $y$ не меняются, поэтому значения синуса и косинуса повторяются через каждые $2\pi k$. 2. При изменении угла на $\pi$ ($180^\circ$) точка переходит в диаметрально противоположную точку $P_{\alpha + \pi}(-x; -y)$. Тогда: $$ \operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \frac{-y}{-x} = \frac{y}{x} = \operatorname{tg} \alpha, \quad \operatorname{ctg}(\alpha + \pi) = \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} = \operatorname{ctg} \alpha $$ Следовательно, значения тангенса и котангенса повторяются через каждые $\pi k$. --- ### 2. Наименьший положительный период тригонометрических функций Наименьшим положительным периодом ($T$) называют наименьшее из положительных чисел $T > 0$, для которого выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. * Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$: $$ T = 2\pi \quad (360^\circ) $$ * Для функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$: $$ T = \pi \quad (180^\circ) $$