ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / вопрос - 9

**1. Определение квадратичной функции** **Квадратичной функцией** называется функция вида: $$ y = ax^2 + bx + c $$ где $x$ — независимая переменная (аргумент), $a, b, c$ — заданные числа (коэффициенты), причём $a \neq 0$. Графиком квадратичной функции является **парабола**. --- **2. Особенности расположения графика в зависимости от коэффициентов** * **Влияние коэффициента $a$ (направление ветвей и форма):** * Если $a > 0$, ветви параболы направлены **вверх**. * Если $a < 0$, ветви параболы направлены **вниз**. * Величина $|a|$ определяет степень сжатия или растяжения параболы: чем больше $|a|$, тем парабола «уже» (сильнее вытянута вдоль оси $Oy$), чем меньше $|a|$, тем парабола «шире». * **Влияние коэффициентов $a$ и $b$ (положение вершины и оси симметрии):** * Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ находятся по формулам: $$ x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = y(x_0) = -\frac{D}{4a} = c - \frac{b^2}{4a} $$ * Прямая $x = -\frac{b}{2a}$ является осью симметрии параболы. * Если $b = 0$, вершина параболы лежит на оси ординат $Oy$ ($x_0 = 0$). * Если коэффициенты $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки ($ab > 0$), то $x_0 < 0$ — вершина параболы смещена влево от оси $Oy$. * Если коэффициенты $a$ и $b$ имеют разные знаки ($ab < 0$), то $x_0 > 0$ — вершина параболы смещена вправо от оси $Oy$. * **Влияние свободного члена $c$ (пересечение с осью $Oy$):** * График квадратичной функции всегда пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0; c)$. * Если $c > 0$, точка пересечения лежит выше оси $Ox$. * Если $c < 0$, точка пересечения лежит ниже оси $Ox$. * Если $c = 0$, график проходит через начало координат $(0; 0)$. --- **3. Особенности расположения графика в зависимости от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$** Дискриминант определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс $Ox$: * **При $D > 0$:** * Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня: $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ * Парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$. * **При $D = 0$:** * Уравнение имеет один корень кратности 2: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} $$ * Парабола касается оси $Ox$ в одной точке — в своей вершине $(x_0; 0)$. * **При $D < 0$:** * Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. * Парабола не пересекает ось $Ox$ и не касается её: * при $a > 0$ график целиком расположен выше оси $Ox$ (значения функции положительны при всех $x$); * при $a < 0$ график целиком расположен ниже оси $Ox$ (значения функции отрицательны при всех $x$).