ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 790

Дано квадратное уравнение: $$ x^2 + (4 + 2r)x + 5 + 4r = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 4 + 2r$, $c = 5 + 4r$. Найдем дискриминант уравнения: $$ D = b^2 - 4ac = (4 + 2r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 + 4r) $$ $$ D = 16 + 16r + 4r^2 - 20 - 16r = 4r^2 - 4 = 4(r^2 - 1) $$ **1) Действительные и равные корни** Квадратное уравнение имеет действительные и равные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$): $$ 4(r^2 - 1) = 0 $$ $$ r^2 - 1 = 0 $$ $$ r^2 = 1 $$ $$ r_1 = 1, \quad r_2 = -1 $$ При $r = 1$ уравнение принимает вид $x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = -3$. При $r = -1$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = -1$. В обоих случаях корни действительные и равные. **2) Действительные корни, равные по модулю, но противоположные по знаку** Пусть корни уравнения равны $x_1$ и $x_2$. По условию они равны по модулю и противоположны по знаку, то есть $x_1 = -x_2$ (при этом $x_1 \neq 0$). Следовательно, их сумма равна нулю: $$ x_1 + x_2 = 0 $$ По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $$ x_1 + x_2 = -(4 + 2r) $$ Приравняем сумму к нулю: $$ -(4 + 2r) = 0 $$ $$ 4 + 2r = 0 $$ $$ 2r = -4 $$ $$ r = -2 $$ Проверим, существуют ли при $r = -2$ действительные корни: $$ D = 4((-2)^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12 > 0 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Подставим $r = -2$ в исходное уравнение: $$ x^2 + (4 + 2(-2))x + 5 + 4(-2) = 0 $$ $$ x^2 - 3 = 0 $$ $$ x = \pm\sqrt{3} $$ Корни $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$ действительно являются действительными числами, равными по модулю и противоположными по знаку. **Ответ:** 1) $r = \pm 1$; 2) $r = -2$.