ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 793

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + ax + a^2 + 6a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Парабола с ветвями, направленными вверх, принимает отрицательные значения внутри интервала между своими корнями: $x \in (x_1; x_2)$, где $x_1 < x_2$ — корни уравнения $f(x) = 0$. Для того чтобы функция принимала отрицательные значения при всех $x \in (1; 2)$, интервал $(1; 2)$ должен целиком содержаться внутри промежутка $(x_1; x_2)$, то есть должно выполняться условие: $$ x_1 \le 1 < 2 \le x_2 $$ Поскольку ветви параболы направлены вверх, это условие равносильно тому, что значения функции на концах интервала неположительны: $$ \begin{cases} f(1) \le 0 \\ f(2) \le 0 \end{cases} $$ 1. Вычислим $f(1)$ и решим первое неравенство: $$ f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + a^2 + 6a = a^2 + 7a + 1 $$ $$ a^2 + 7a + 1 \le 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 + 7a + 1 = 0$: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45 $$ $$ a_{1, 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-7 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$ Так как ветви параболы относительно переменной $a$ направлены вверх, решение неравенства: $$ a \in \left[\frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}\right] $$ 2. Вычислим $f(2)$ и решим второе неравенство: $$ f(2) = 2^2 + a \cdot 2 + a^2 + 6a = 4 + 2a + a^2 + 6a = a^2 + 8a + 4 $$ $$ a^2 + 8a + 4 \le 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 + 8a + 4 = 0$: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 $$ $$ a_{3, 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3} $$ Решение неравенства: $$ a \in [-4 - 2\sqrt{3}; -4 + 2\sqrt{3}] $$ 3. Найдем пересечение полученных промежутков: $$ \begin{cases} \dfrac{-7 - 3\sqrt{5}}{2} \le a \le \dfrac{-7 + 3\sqrt{5}}{2} \\ -4 - 2\sqrt{3} \le a \le -4 + 2\sqrt{3} \end{cases} $$ Сравним границы промежутков: - Сравним левые границы $\dfrac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}$ и $-4 - 2\sqrt{3}$: $$ \frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-7 - 6{,}71}{2} \approx -6{,}86 $$ $$ -4 - 2\sqrt{3} \approx -4 - 3{,}46 = -7{,}46 $$ Так как $-6{,}86 > -7{,}46$, то $\dfrac{-7 - 3\sqrt{5}}{2} > -4 - 2\sqrt{3}$. - Сравним правые границы $\dfrac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$ и $-4 + 2\sqrt{3}$: $$ \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-7 + 6{,}71}{2} \approx -0{,}15 $$ $$ -4 + 2\sqrt{3} \approx -4 + 3{,}46 = -0{,}54 $$ Так как $-0{,}54 < -0{,}15$, то $-4 + 2\sqrt{3} < \dfrac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$. Следовательно, пересечением решений является отрезок: $$ \left[\frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}; -4 + 2\sqrt{3}\right] $$ Ответ: $\left[\dfrac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}; -4 + 2\sqrt{3}\right]$ (или $\dfrac{-7 - 3\sqrt{5}}{2} \le a \le -4 + 2\sqrt{3}$).