ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 789

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1, \\ y = 5 + |x - 1|. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $|x - 1|$: $$ |x - 1| = y - 5 $$ Так как $|x - 1| \ge 0$, то $y - 5 \ge 0$, а значит, по определению модуля $|y - 5| = y - 5$. Подставим $|y - 5| = |x - 1|$ в первое уравнение системы: $$ |x - 1| + |x - 1| = 1 $$ $$ 2|x - 1| = 1 $$ $$ |x - 1| = 0{,}5 $$ Отсюда получаем два значения для $x$: 1. $x - 1 = 0{,}5 \implies x_1 = 1{,}5$; 2. $x - 1 = -0{,}5 \implies x_2 = 0{,}5$. Найдем соответствующее значение $y$: $$ y = 5 + |x - 1| = 5 + 0{,}5 = 5{,}5 $$ Ответ: $(1{,}5; 5{,}5)$, $(0{,}5; 5{,}5)$. --- 2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{5y - x} + x = 3, \\ \sqrt{2y - x} + x + y = 3. \end{cases} $$ Выразим корни из каждого уравнения: $$ \begin{cases} \sqrt{5y - x} = 3 - x, \\ \sqrt{2y - x} = 3 - x - y. \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ \sqrt{5y - x} - \sqrt{2y - x} = y $$ Умножим обе части уравнения на сопряженное выражение $(\sqrt{5y - x} + \sqrt{2y - x})$: $$ (5y - x) - (2y - x) = y(\sqrt{5y - x} + \sqrt{2y - x}) $$ $$ 3y = y(\sqrt{5y - x} + \sqrt{2y - x}) $$ Если $y = 0$, то $\sqrt{-x} = 3 - x$. Возводя в квадрат при $x \le 0$, получаем: $$ -x = 9 - 6x + x^2 \implies x^2 - 5x + 9 = 0 $$ Дискриминант $D = 25 - 36 = -11 < 0$, корней нет. Если $y \ne 0$, разделим обе части на $y$: $$ \sqrt{5y - x} + \sqrt{2y - x} = 3 $$ Сложим полученное уравнение с уравнением $\sqrt{5y - x} - \sqrt{2y - x} = y$: $$ 2\sqrt{5y - x} = 3 + y $$ Так как из первого уравнения исходной системы $\sqrt{5y - x} = 3 - x$, подставим это значение: $$ 2(3 - x) = 3 + y \implies 6 - 2x = 3 + y \implies y = 3 - 2x $$ Подставим $y = 3 - 2x$ в уравнение $\sqrt{5y - x} = 3 - x$: $$ \sqrt{5(3 - 2x) - x} = 3 - x $$ $$ \sqrt{15 - 11x} = 3 - x $$ Учитывая ограничения: $3 - x \ge 0$ и $\sqrt{2y - x} = 3 - x - y = 3 - x - (3 - 2x) = x \ge 0$, получаем $0 \le x \le 3$. Возведем обе части в квадрат: $$ 15 - 11x = (3 - x)^2 $$ $$ 15 - 11x = 9 - 6x + x^2 $$ $$ x^2 + 5x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$. Корень $x = -6$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Для $x = 1$: $$ y = 3 - 2 \cdot 1 = 1 $$ Проверим пару $(1; 1)$: $\sqrt{5 \cdot 1 - 1} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3$ — верно; $\sqrt{2 \cdot 1 - 1} + 1 + 1 = \sqrt{1} + 2 = 3$ — верно. Ответ: $(1; 1)$. --- 3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{y + 7x} + \sqrt{y + 2x} = 5, \\ \sqrt{y + 2x} - y + x = 1. \end{cases} $$ Умножим обе части первого уравнения на разность $(\sqrt{y + 7x} - \sqrt{y + 2x})$: $$ (y + 7x) - (y + 2x) = 5(\sqrt{y + 7x} - \sqrt{y + 2x}) $$ $$ 5x = 5(\sqrt{y + 7x} - \sqrt{y + 2x}) $$ $$ \sqrt{y + 7x} - \sqrt{y + 2x} = x $$ Вычтем это уравнение из первого уравнения системы: $$ (\sqrt{y + 7x} + \sqrt{y + 2x}) - (\sqrt{y + 7x} - \sqrt{y + 2x}) = 5 - x $$ $$ 2\sqrt{y + 2x} = 5 - x \implies \sqrt{y + 2x} = \frac{5 - x}{2} $$ Из второго уравнения исходной системы выразим корень: $$ \sqrt{y + 2x} = 1 + y - x $$ Приравняем правые части: $$ \frac{5 - x}{2} = 1 + y - x $$ $$ 5 - x = 2 + 2y - 2x \implies 2y = x + 3 \implies y = \frac{x + 3}{2} $$ Так как $\sqrt{y + 2x} = \frac{5 - x}{2}$, возведем обе части в квадрат (при условии $\frac{5 - x}{2} \ge 0 \implies x \le 5$): $$ y + 2x = \left(\frac{5 - x}{2}\right)^2 $$ Подставим выражение для $y$: $$ \frac{x + 3}{2} + 2x = \frac{25 - 10x + x^2}{4} $$ $$ \frac{5x + 3}{2} = \frac{x^2 - 10x + 25}{4} $$ Умножим обе части на 4: $$ 2(5x + 3) = x^2 - 10x + 25 $$ $$ 10x + 6 = x^2 - 10x + 25 $$ $$ x^2 - 20x + 19 = 0 $$ По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 19$. Значение $x = 19$ не удовлетворяет условию $x \le 5$. При $x = 1$: $$ y = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$ Проверка: $\sqrt{2 + 7} + \sqrt{2 + 2} = 3 + 2 = 5$ — верно; $\sqrt{2 + 2} - 2 + 1 = 2 - 2 + 1 = 1$ — верно. Ответ: $(1; 2)$. --- 4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{25 - x^2} - \sqrt{25 - y^2} = \sqrt{8}, \\ \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{25 - y^2} = \sqrt{16 + (x + y)^2}. \end{cases} $$ Пусть $u = \sqrt{25 - x^2} \ge 0$ и $v = \sqrt{25 - y^2} \ge 0$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u - v = \sqrt{8}, \\ u + v = \sqrt{16 + (x + y)^2}. \end{cases} $$ Перемножим эти два уравнения: $$ (u - v)(u + v) = \sqrt{8}\sqrt{16 + (x + y)^2} $$ $$ u^2 - v^2 = \sqrt{8}\sqrt{16 + (x + y)^2} $$ С другой стороны: $$ u^2 - v^2 = (25 - x^2) - (25 - y^2) = y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) $$ Следовательно: $$ (y - x)(y + x) = \sqrt{8}\sqrt{16 + (x + y)^2} \ge 0 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ (y - x)^2(x + y)^2 = 8(16 + (x + y)^2) $$ Теперь возведем в квадрат оба уравнения исходной системы и сложим их: $$ (u - v)^2 + (u + v)^2 = (\sqrt{8})^2 + \left(\sqrt{16 + (x + y)^2}\right)^2 $$ $$ 2(u^2 + v^2) = 8 + 16 + (x + y)^2 = 24 + (x + y)^2 $$ Также вычислим $2(u^2 + v^2)$ через переменные $x$ и $y$: $$ 2(u^2 + v^2) = 2((25 - x^2) + (25 - y^2)) = 100 - 2(x^2 + y^2) $$ Так как $2(x^2 + y^2) = (x + y)^2 + (y - x)^2$, то: $$ 2(u^2 + v^2) = 100 - (x + y)^2 - (y - x)^2 $$ Приравняем два полученных выражения для $2(u^2 + v^2)$: $$ 24 + (x + y)^2 = 100 - (x + y)^2 - (y - x)^2 $$ $$ (y - x)^2 = 76 - 2(x + y)^2 $$ Введем обозначения $S = (x + y)^2 \ge 0$ и $D = (y - x)^2 \ge 0$. Тогда: $$ D = 76 - 2S $$ Подставим это в равенство $D \cdot S = 8(16 + S)$: $$ (76 - 2S)S = 128 + 8S $$ $$ 76S - 2S^2 = 128 + 8S $$ $$ 2S^2 - 68S + 128 = 0 $$ $$ S^2 - 34S + 64 = 0 $$ По теореме Виета получаем корни: $S_1 = 2$, $S_2 = 32$. Так как $(y - x)(y + x) \ge 0$, знаки выражений $(y - x)$ и $(y + x)$ должны совпадать. **Случай 1:** $S = 2$. Тогда $D = 76 - 2 \cdot 2 = 72$. а) $\begin{cases} y + x = \sqrt{2}, \\ y - x = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}; \end{cases}$ Сложим уравнения: $2y = 7\sqrt{2} \implies y = \frac{7\sqrt{2}}{2}$. Вычтем второе из первого: $2x = -5\sqrt{2} \implies x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$. б) $\begin{cases} y + x = -\sqrt{2}, \\ y - x = -6\sqrt{2}; \end{cases}$ Сложим уравнения: $2y = -7\sqrt{2} \implies y = -\frac{7\sqrt{2}}{2}$. Вычтем второе из первого: $2x = 5\sqrt{2} \implies x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. **Случай 2:** $S = 32$. Тогда $D = 76 - 2 \cdot 32 = 12$. а) $\begin{cases} y + x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \\ y - x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}; \end{cases}$ Сложим уравнения: $2y = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \implies y = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$. Вычтем второе из первого: $2x = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \implies x = 2\sqrt{2} - \sqrt{3}$. б) $\begin{cases} y + x = -4\sqrt{2}, \\ y - x = -2\sqrt{3}; \end{cases}$ Сложим уравнения: $2y = -4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \implies y = -2\sqrt{2} - \sqrt{3}$. Вычтем второе из первого: $2x = -4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \implies x = -2\sqrt{2} + \sqrt{3}$. Для всех найденных пар выполняются условия существования корней ($x^2 \le 25$, $y^2 \le 25$). Ответ: $\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}; \frac{7\sqrt{2}}{2}\right)$, $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}; -\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)$, $(2\sqrt{2} - \sqrt{3}; 2\sqrt{2} + \sqrt{3})$, $(-2\sqrt{2} + \sqrt{3}; -2\sqrt{2} - \sqrt{3})$.