ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 786

**1)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 13, \\ xy(x - y) = 6. \end{cases} $$ Умножим второе уравнение системы на $2$ и вычтем его из первого уравнения: $$ (x^2 + y^2)(x - y) - 2xy(x - y) = 13 - 2 \cdot 6 $$ Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки: $$ (x - y)(x^2 - 2xy + y^2) = 1 $$ Так как $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$, получаем: $$ (x - y)(x - y)^2 = 1 $$ $$ (x - y)^3 = 1 $$ Среди действительных чисел кубический корень из $1$ равен $1$, следовательно: $$ x - y = 1 $$ Подставим $x - y = 1$ во второе уравнение исходной системы: $$ xy \cdot 1 = 6 \implies xy = 6 $$ Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6. \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = y + 1$, и подставим во второе уравнение: $$ (y + 1)y = 6 $$ $$ y^2 + y - 6 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $x$: - при $y_1 = 2$: $x_1 = 2 + 1 = 3$; - при $y_2 = -3$: $x_2 = -3 + 1 = -2$. Ответ: $(3; 2)$, $(-2; -3)$. --- **2)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 4(x^3 + y^3) = 9x^2y^2, \\ 4(x^2 + y^2) = 9x^2y^2 - 8xy. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение, перенеся слагаемое $-8xy$ в левую часть: $$ 4(x^2 + y^2) + 8xy = 9x^2y^2 $$ $$ 4(x^2 + 2xy + y^2) = 9x^2y^2 $$ $$ 4(x + y)^2 = 9(xy)^2 $$ Используем формулу суммы кубов для первого уравнения: $$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) $$ Пусть $x + y = u$ и $xy = v$. Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} 4u(u^2 - 3v) = 9v^2, \\ 4u^2 = 9v^2. \end{cases} $$ Так как правые части уравнений равны, приравняем их левые части: $$ 4u(u^2 - 3v) = 4u^2 $$ $$ 4u(u^2 - 3v) - 4u^2 = 0 $$ $$ 4u(u^2 - 3v - u) = 0 $$ Отсюда возможны два случая: 1) $u = 0$. Подставим $u = 0$ во второе уравнение системы: $4 \cdot 0^2 = 9v^2 \implies v = 0$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x + y = 0, \\ xy = 0, \end{cases} \implies x = 0, \quad y = 0. $$ Получили решение: $(0; 0)$. 2) $u^2 - 3v - u = 0$, то есть $u^2 - u = 3v$ (при условии $u \neq 0$). Из уравнения $4u^2 = 9v^2$, то есть $(2u)^2 = (3v)^2$, следует, что: $3v = 2u$ или $3v = -2u$. Рассмотрим эти варианты: - Если $3v = 2u$: $$ u^2 - u = 2u \implies u^2 - 3u = 0 $$ Так как $u \neq 0$, то $u = 3$. Тогда $3v = 2 \cdot 3 \implies v = 2$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Отсюда получаем пары решений: $(1; 2)$ и $(2; 1)$. - Если $3v = -2u$: $$ u^2 - u = -2u \implies u^2 + u = 0 $$ Так как $u \neq 0$, то $u = -1$. Тогда $3v = -2 \cdot (-1) \implies v = \frac{2}{3}$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = -1, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$ Составим соответствующее квадратное уравнение: $$ t^2 + t + \frac{2}{3} = 0 $$ Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3} < 0$. Уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(2; 1)$.