ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 767

Предположим противное: пусть существуют натуральные числа $x$ и $y$ ($x \ge 1$, $y \ge 1$), удовлетворяющие уравнению: $$ mx + ny = mn $$ Выразим слагаемое $ny$: $$ ny = mn - mx $$ $$ ny = m(n - x) $$ Из полученного равенства следует, что число $ny$ делится на $m$. Так как по условию числа $m$ и $n$ взаимно простые ($\text{НОД}(m, n) = 1$), то на $m$ должно делиться число $y$. Поскольку $y$ — натуральное число ($y > 0$), наименьшим возможным натуральным числом, кратным $m$, является само число $m$. Следовательно: $$ y \ge m $$ Аналогично выразим слагаемое $mx$: $$ mx = mn - ny $$ $$ mx = n(m - y) $$ Отсюда следует, что число $mx$ делится на $n$. Так как $\text{НОД}(m, n) = 1$, на $n$ должно делиться число $x$. Поскольку $x$ — натуральное число ($x > 0$), получаем: $$ x \ge n $$ Оценим значение левой части исходного уравнения, используя полученные неравенства $x \ge n$ и $y \ge m$: $$ mx + ny \ge m \cdot n + n \cdot m = 2mn $$ Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $mn > 0$, а значит: $$ 2mn > mn $$ Следовательно: $$ mx + ny > mn $$ Мы получили противоречие с исходным равенством $mx + ny = mn$. Значит, сделанное предположение неверно, и не существует натуральных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих данному уравнению, что и требовалось доказать.