ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 768

При делении на $3$ любое натуральное число $n$ может давать остаток $0$, $1$ или $2$. Значит, число $n$ можно представить в одном из трёх видов: 1) $n = 3k$, где $k$ — натуральное число; 2) $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число; 3) $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число. Рассмотрим каждый из этих случаев. **Случай 1:** $n = 3k$ (число $n$ делится на $3$). Подставим $n = 3k$ в исходное выражение: $$ 7n^2 + 1 = 7(3k)^2 + 1 = 7 \cdot 9k^2 + 1 = 63k^2 + 1 = 3 \cdot 21k^2 + 1 $$ Слагаемое $3 \cdot 21k^2$ делится на $3$, а второе слагаемое равно $1$. Следовательно, при делении на $3$ получается остаток $1$, то есть число $7n^2 + 1$ на $3$ не делится. **Случай 2:** $n = 3k + 1$ (число $n$ даёт остаток $1$ при делении на $3$). Подставим $n = 3k + 1$ в выражение: $$ 7n^2 + 1 = 7(3k + 1)^2 + 1 = 7(9k^2 + 6k + 1) + 1 = 63k^2 + 42k + 7 + 1 = 63k^2 + 42k + 8 $$ Представим число $8$ в виде $6 + 2$ и вынесем множитель $3$: $$ 63k^2 + 42k + 6 + 2 = 3(21k^2 + 14k + 2) + 2 $$ Выражение $3(21k^2 + 14k + 2)$ делится на $3$, поэтому при делении всего числа на $3$ получается остаток $2$. Значит, число $7n^2 + 1$ на $3$ не делится. **Случай 3:** $n = 3k + 2$ (число $n$ даёт остаток $2$ при делении на $3$). Подставим $n = 3k + 2$ в выражение: $$ 7n^2 + 1 = 7(3k + 2)^2 + 1 = 7(9k^2 + 12k + 4) + 1 = 63k^2 + 84k + 28 + 1 = 63k^2 + 84k + 29 $$ Представим число $29$ в виде $27 + 2$ и вынесем множитель $3$: $$ 63k^2 + 84k + 27 + 2 = 3(21k^2 + 28k + 9) + 2 $$ Здесь также при делении на $3$ получается остаток $2$, то есть число $7n^2 + 1$ на $3$ не делится. Таким образом, ни при каком натуральном $n$ число $7n^2 + 1$ не делится на $3$, что и требовалось доказать.