ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 730

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$ выразим $b_2$ и $b_3$: $$ b_2 = b_1 q $$ $$ b_3 = b_1 q^2 $$ Используя условие задачи, составим систему уравнений: $$ \begin{cases} b_1 q - b_1 = 18 \\ b_1 q^2 - b_1 = 42 \end{cases} $$ Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки в каждом уравнении: $$ \begin{cases} b_1(q - 1) = 18 \\ b_1(q^2 - 1) = 42 \end{cases} $$ Применим формулу разности квадратов во втором уравнении: $$ \begin{cases} b_1(q - 1) = 18 \\ b_1(q - 1)(q + 1) = 42 \end{cases} $$ Так как $b_1(q - 1) = 18 \neq 0$, то $b_1 \neq 0$ и $q \neq 1$. Разделим второе уравнение системы на первое: $$ \frac{b_1(q - 1)(q + 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{42}{18} $$ $$ q + 1 = \frac{7}{3} $$ $$ q = \frac{7}{3} - 1 $$ $$ q = \frac{4}{3} $$ Подставим найденное значение $q = \frac{4}{3}$ в уравнение $b_1(q - 1) = 18$: $$ b_1\left(\frac{4}{3} - 1\right) = 18 $$ $$ b_1 \cdot \frac{1}{3} = 18 $$ $$ b_1 = 18 \cdot 3 $$ $$ b_1 = 54 $$ Найдем пятый член геометрической прогрессии по формуле $b_5 = b_1 q^4$: $$ b_5 = 54 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4 = 54 \cdot \frac{256}{81} $$ Сократим дробь на $27$: $$ b_5 = \frac{2 \cdot 256}{3} = \frac{512}{3} = 170\frac{2}{3} $$ Ответ: $170\frac{2}{3}$ (или $\frac{512}{3}$).