ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 727

Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{3x-4} \cdot \sqrt{x-2} = 4 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} 3x - 4 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge \dfrac{4}{3} \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2 $$ 2. Обе части исходного уравнения неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{3x-4} \cdot \sqrt{x-2})^2 = 4^2 $$ $$ (3x - 4)(x - 2) = 16 $$ 3. Раскроем скобки и приведём полученное уравнение к стандартному квадратному виду: $$ 3x^2 - 6x - 4x + 8 = 16 $$ $$ 3x^2 - 10x + 8 - 16 = 0 $$ $$ 3x^2 - 10x - 8 = 0 $$ 4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \dfrac{24}{6} = 4 $$ $$ x_2 = \dfrac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3} $$ 5. Проверим найденные корни с учётом ОД ($x \ge 2$): * $x_1 = 4$: значение удовлетворяет условию $4 \ge 2$; * $x_2 = -\dfrac{2}{3}$: значение не удовлетворяет условию $-\dfrac{2}{3} < 2$, то есть является посторонним корнем. Проверка для корня $x = 4$: $$ \sqrt{3 \cdot 4 - 4} \cdot \sqrt{4 - 2} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4 $$ $4 = 4$ — равенство верно. Ответ: $4$