ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 713

Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{x+3} + 5 = 7x $$ Уединим корень в левой части уравнения: $$ \sqrt{x+3} = 7x - 5 $$ Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $$ 7x - 5 \ge 0 \implies 7x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{7} $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x+3})^2 = (7x - 5)^2 $$ $$ x + 3 = 49x^2 - 70x + 25 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть и приведём подобные: $$ 49x^2 - 70x - x + 25 - 3 = 0 $$ $$ 49x^2 - 71x + 22 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-71)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 22 = 5041 - 4312 = 729 = 27^2 $$ Найдём корни уравнения: $$ x_1 = \frac{71 + 27}{2 \cdot 49} = \frac{98}{98} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{71 - 27}{2 \cdot 49} = \frac{44}{98} = \frac{22}{49} $$ Проверим найденные значения по условию $x \ge \frac{5}{7}$ (где $\frac{5}{7} = \frac{35}{49}$): 1. $x_1 = 1$: $1 \ge \frac{5}{7}$ — условие выполняется. 2. $x_2 = \frac{22}{49}$: $\frac{22}{49} < \frac{35}{49}$ — условие не выполняется, следовательно, это посторонний корень. Проверка подстановкой в исходное уравнение: * При $x = 1$: $$ \sqrt{1+3} + 5 = 7 \cdot 1 $$ $$ \sqrt{4} + 5 = 7 $$ $$ 2 + 5 = 7 \quad (\text{верно}) $$ Ответ: $1$