ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 702

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии выражается формулой: $$ S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = b_1(1 + q + q^2) $$ ### 1) Дано: $b_1 = 12$, $S_3 = 372$ Подставим известные значения в формулу суммы: $$ 12(1 + q + q^2) = 372 $$ Разделим обе части уравнения на $12$: $$ 1 + q + q^2 = 31 $$ $$ q^2 + q - 30 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ \begin{cases} q_1 + q_2 = -1 \\ q_1 \cdot q_2 = -30 \end{cases} \implies q_1 = 5, \quad q_2 = -6 $$ **Ответ:** $q = 5$ или $q = -6$. --- ### 2) Дано: $b_1 = 1$, $S_3 = 157$ Подставим данные в формулу суммы: $$ 1 \cdot (1 + q + q^2) = 157 $$ $$ q^2 + q - 156 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2 $$ $$ q = \frac{-1 \pm 25}{2} $$ $$ q_1 = \frac{-1 + 25}{2} = 12, \quad q_2 = \frac{-1 - 25}{2} = -13 $$ **Ответ:** $q = 12$ или $q = -13$. --- ### 3) Дано: $b_3 = 300$, $S_3 = 372$ Так как знаменатель прогрессии $q \ne 0$, выразим члены прогрессии через $b_3$: $$ b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{300}{q}, \quad b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{300}{q^2} $$ Запишем сумму первых трех членов: $$ S_3 = \frac{300}{q^2} + \frac{300}{q} + 300 = 372 $$ $$ \frac{300}{q^2} + \frac{300}{q} - 72 = 0 $$ Разделим обе части на $12$: $$ \frac{25}{q^2} + \frac{25}{q} - 6 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $q^2$ ($q \ne 0$) и поменяем знаки: $$ 6q^2 - 25q - 25 = 0 $$ Найдем корни: $$ D = (-25)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-25) = 625 + 600 = 1225 = 35^2 $$ $$ q = \frac{25 \pm 35}{12} $$ $$ q_1 = \frac{25 + 35}{12} = \frac{60}{12} = 5 $$ $$ q_2 = \frac{25 - 35}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} $$ **Ответ:** $q = 5$ или $q = -\frac{5}{6}$. --- ### 4) Дано: $b_1 = 144$, $S_3 = 157$ *(по учебнику Алимова: $b_3 = 144$, $S_3 = 157$)* **Основной вариант (по тексту учебника, $b_3 = 144$):** Выразим $b_1$ и $b_2$ через $b_3$ при $q \ne 0$: $$ b_1 = \frac{144}{q^2}, \quad b_2 = \frac{144}{q} $$ Составим уравнение суммы: $$ \frac{144}{q^2} + \frac{144}{q} + 144 = 157 $$ $$ \frac{144}{q^2} + \frac{144}{q} - 13 = 0 $$ Умножим на $q^2$: $$ 13q^2 - 144q - 144 = 0 $$ $$ D = (-144)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-144) = 144(144 + 52) = 144 \cdot 196 = 12^2 \cdot 14^2 = 168^2 $$ $$ q = \frac{144 \pm 168}{26} $$ $$ q_1 = \frac{144 + 168}{26} = \frac{312}{26} = 12 $$ $$ q_2 = \frac{144 - 168}{26} = -\frac{24}{26} = -\frac{12}{13} $$ **Вариант по условию с $b_1 = 144$:** $$ 144(1 + q + q^2) = 157 $$ $$ 144q^2 + 144q - 13 = 0 $$ $$ D = 144^2 - 4 \cdot 144 \cdot (-13) = 144(144 + 52) = 168^2 $$ $$ q = \frac{-144 \pm 168}{288} $$ $$ q_1 = \frac{24}{288} = \frac{1}{12}, \quad q_2 = \frac{-312}{288} = -\frac{13}{12} = -1\frac{1}{12} $$ **Ответ:** - если $b_3 = 144$: $q = 12$ или $q = -\frac{12}{13}$; - если $b_1 = 144$: $q = \frac{1}{12}$ или $q = -1\frac{1}{12}$.